(a) Intensità elettrica E all'esterno del palloncino (r> R)

Utilizzando la legge di Gauss possiamo determinare l'intensità elettrica E ad una distanza r dal centro del pallone. Consideriamo una superficie gaussiana sferica di raggio r, concentrica al palloncino. Il campo elettrico è ovunque perpendicolare alla superficie e la sua intensità è costante sulla superficie. Pertanto il flusso elettrico attraverso la superficie è dato da:

∮_S \(\overrightarrow E\cdot d\overrightarrow A\)=E⋅4πr^2

La carica totale racchiusa dalla superficie è q. Pertanto, secondo la legge di Gauss, abbiamo:

∮_S \(\overrightarrow E\cdot d\overrightarrow A\)=\frac{q_{in}}{\varepsilon_0}

dove ε₀ è la permettività dello spazio libero. Combinando le equazioni precedenti, otteniamo:

$$E⋅4πr^2=\frac{q}{\varepsilon_0}$$

$$E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}$$

Questa è l'espressione dell'intensità elettrica all'esterno del pallone. Varia inversamente al quadrato della distanza dal centro del palloncino.

(b) Intensità elettrica E all'interno del palloncino (r

All'interno del pallone il campo elettrico è zero. Questo perché il campo elettrico è dovuto alle cariche sulla superficie del pallone e non ci sono cariche all'interno del pallone.

(c) Potenziale elettrico V all'esterno del palloncino (r> R)

Il potenziale elettrico V alla distanza r dal centro del pallone è dato da:

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{r}$$

Poiché la carica è distribuita uniformemente sulla superficie del palloncino, possiamo scrivere dq =σ⋅dA, dove σ è la densità di carica superficiale e dA è un elemento dell'area sulla superficie. La carica totale sul pallone è q =σ⋅4πR², dove R è il raggio del pallone. Sostituendo questi nell'equazione per V, otteniamo:

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_S \frac{\sigma dA}{r}$$

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma}{r}⋅\int_S dA$$

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma}{r}⋅4πR²$$

$$V=\frac{\sigma R}{\varepsilon_0}\frac{1}{r}$$

Questa è l'espressione del potenziale elettrico all'esterno del pallone. Varia inversamente alla distanza dal centro del palloncino.

(d) Potenziale elettrico V all'interno del palloncino (r

All’interno del pallone il potenziale elettrico è costante ed è dato da:

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^R \frac{\sigma dA}{r}$$

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma}{r}⋅4πr²$$

$$V=\frac{\sigma R}{\varepsilon_0}$$

Questa è l'espressione del potenziale elettrico all'interno del palloncino. È costante e non dipende dalla distanza dal centro del palloncino.