Risolvere i misteri dell'elettromagnetismo fino ad oggi è stato uno dei più grandi successi della fisica e le lezioni apprese sono completamente incapsulate nelle equazioni di Maxwell.

James Clerk Maxwell dà il suo nome a queste quattro eleganti equazioni, ma sono il culmine di decenni di lavoro di molti fisici, tra cui Michael Faraday, Andre-Marie Ampere e Carl Friedrich Gauss - che danno il loro nome a tre delle quattro equazioni - e molte altre. Mentre Maxwell stesso ha aggiunto solo un termine a una delle quattro equazioni, ha avuto la lungimiranza e la comprensione di raccogliere il meglio del lavoro svolto sull'argomento e di presentarli in un modo ancora usato dai fisici oggi.

Per molti, molti anni, i fisici credevano che l'elettricità e il magnetismo fossero forze separate e fenomeni distinti. Ma attraverso il lavoro sperimentale di persone come Faraday, divenne sempre più chiaro che in realtà erano due facce dello stesso fenomeno e le equazioni di Maxwell presentano questo quadro unificato che è ancora valido oggi come lo era nel XIX secolo. Se studierai fisica ai livelli più alti, devi assolutamente conoscere le equazioni di Maxwell e come usarle.
Equazioni di Maxwell

Le equazioni di Maxwell sono le seguenti, sia in forma differenziale che integrale modulo. (Nota che mentre la conoscenza delle equazioni differenziali è utile qui, una comprensione concettuale è possibile anche senza di essa.)

Legge di Gauss per l'elettricità

Forma differenziale:
\\ bm {∇ ∙ E} \u003d \\ frac {ρ} {ε_0}

Forma integrale:
\\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {A} \u003d \\ frac {q} {ε_0}

Nessuna legge monopolare /Legge di Gauss per il magnetismo

Forma differenziale:
\\ bm {∇ ∙ B} \u003d 0

Forma integrale:
\\ int \\ bm {B ∙} d \\ bm {A} \u003d 0

Legge dell'induzione di Faraday

Forma differenziale:
\\ bm {∇ × E} \u003d - \\ frac {∂ \\ bm {B}} {∂t}

Forma integrale:
\\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {s} \u003d - \\ frac {∂ \\ phi_B} {∂t}

Legge Ampere-Maxwell /Legge Ampere

Forma differenziale:
\\ bm {∇ × B} \u003d \\ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \\ frac {1} {c ^ 2} \\ frac {∂E} {∂t}

Forma integrale:
\\ int \\ bm {B ∙} d \\ bm {s} \u003d μ_0 I + \\ frac {1} {c ^ 2} \\ frac {∂} {∂t} \\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {A } Simboli usati nelle equazioni di Maxwell

Le equazioni di Maxwell usano una selezione piuttosto grande di simboli, e io è importante capire cosa significano questi se imparerai ad applicarli. Quindi, ecco un riassunto dei significati dei simboli usati:

B
\u003d campo magnetico

E
\u003d campo elettrico

ρ
\u003d densità di carica elettrica

ε _{0
\u003d permittività dello spazio libero \u003d 8.854 × 10 ^{-12 m -3 kg -1 s 4 A 2}}

q
\u003d carica elettrica totale (somma netta di cariche positive e cariche negative)

< em> 𝜙
_{B \u003d flusso magnetico}

J
\u003d densità di corrente

I
\u003d corrente elettrica

c
\u003d velocità della luce \u003d 2.998 × 10 ^{8 m /s}

μ
_{0 \u003d permeabilità dello spazio libero \u003d 4π × 10 < sup> −7 N /A ²}

Inoltre, è importante sapere che ∇ è l'operatore del, un punto tra due quantità ( X
∙ Y
) mostra un prodotto scalare, un simbolo di moltiplicazione in grassetto tra due quantità è un prodotto vettoriale ( X
× Y
), che l'operatore del con un punto è chiamato "divergenza" ( ad es. ∇ ∙ X
\u003d d ivergenza di X
\u003d div X
) e un operatore del con un prodotto scalare è chiamato arricciatura (ad es. ∇ × Y
\u003d arricciatura di Y
\u003d arricciatura Y
). Infine, A
in d A
indica l'area della superficie chiusa che stai calcolando (a volte scritta come d S
) e s
in d_s_ è una parte molto piccola del limite della superficie aperta che stai calcolando (anche se a volte si tratta di d_l_, che si riferisce a un componente di linea infinitamente piccolo).
Derivazione delle equazioni

La prima equazione delle equazioni di Maxwell è la legge di Gauss, e afferma che il flusso elettrico netto attraverso una superficie chiusa è uguale alla carica totale contenuta nella forma divisa per la permittività dello spazio libero. Questa legge può essere derivata dalla legge di Coulomb, dopo aver compiuto l'importante passo di esprimere la legge di Coulomb in termini di campo elettrico e l'effetto che avrebbe su una carica di prova.

La seconda delle equazioni di Maxwell è essenzialmente equivalente a l'affermazione secondo cui "non esistono monopoli magnetici". Si afferma che il flusso magnetico netto attraverso una superficie chiusa sarà sempre pari a 0, poiché i campi magnetici sono sempre il risultato di un dipolo. La legge può essere derivata dalla legge di Biot-Savart, che descrive il campo magnetico prodotto da un elemento corrente.

La terza equazione - la legge di induzione di Faraday - descrive come un campo magnetico mutevole produce una tensione in un anello di filo o conduttore. È stato originariamente derivato da un esperimento. Tuttavia, dato il risultato che un flusso magnetico variabile induce una forza elettromotrice (EMF o tensione) e quindi una corrente elettrica in un anello di filo, e il fatto che EMF è definito come l'integrale di linea del campo elettrico attorno al circuito, il la legge è facile da mettere insieme.

La quarta e ultima equazione, la legge di Ampere (o la legge di Ampere-Maxwell per dargli credito per il suo contributo) descrive come un campo magnetico è generato da una carica in movimento o da un cambiamento campo elettrico. La legge è il risultato dell'esperimento (e così - come tutte le equazioni di Maxwell - non era realmente "derivato" in senso tradizionale), ma l'uso del teorema di Stokes è un passo importante per ottenere il risultato di base nella forma usata oggi.
Esempi di equazioni di Maxwell: Legge di Gauss

Ad essere sinceri, specialmente se non sei esattamente al passo con il tuo calcolo vettoriale, le equazioni di Maxwell sembrano abbastanza scoraggianti nonostante siano relativamente compatte. Il modo migliore per capirli davvero è quello di esaminare alcuni esempi di come usarli nella pratica, e la legge di Gauss è il posto migliore da cui iniziare. La legge di Gauss è essenzialmente un'equazione più fondamentale che fa il lavoro della legge di Coulomb, ed è abbastanza facile ricavarne la legge considerando il campo elettrico prodotto da una carica puntuale.

Chiamare la carica q
, il punto chiave per applicare la legge di Gauss è scegliere la giusta “superficie” per esaminare il flusso elettrico. In questo caso, una sfera funziona bene, che ha una superficie A
\u003d 4π_r_ ^{2, perché puoi centrare la sfera sulla carica del punto. Questo è un enorme vantaggio nel risolvere problemi come questo perché non è necessario integrare un campo variabile su tutta la superficie; il campo sarà simmetrico attorno alla carica del punto, e quindi sarà costante attraverso la superficie della sfera. Quindi la forma integrale:
\\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {A} \u003d \\ frac {q} {ε_0}}

Può essere espressa come:
E × 4πr ^ 2 \u003d \\ frac {q} {ε_0}

Nota che la E
per il campo elettrico è stata sostituita con una semplice grandezza, perché il campo da una carica puntuale si diffonderà semplicemente equamente in tutte le direzioni dalla sorgente. Ora, dividendo per l'area della sfera si ottiene:
E \u003d \\ frac {q} {4πε_0r ^ 2}

Poiché la forza è correlata al campo elettrico per E
\u003d << em> F
/ q
, dove q
è una carica di prova, F
\u003d qE
e così:
F \u003d \\ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}

Dove sono stati aggiunti i pedici per differenziare i due addebiti. Questa è la legge di Coulomb dichiarata in forma standard, dimostrata come una semplice conseguenza della legge di Gauss.
Esempi di equazioni di Maxwell: Legge di Faraday

La legge di Faraday consente di calcolare la forza elettromotrice in un anello di filo derivante da un campo magnetico mutevole. Un semplice esempio è un anello di filo, con raggio r
\u003d 20 cm, in un campo magnetico che aumenta di magnitudine da B
_{i \u003d 1 T a B
f \u003d 10 T nello spazio di ∆ t
\u003d 5 s - qual è l'EMF indotta in questo caso? La forma integrale della legge coinvolge il flusso:
\\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {s} \u003d - \\ frac {∂ \\ phi_B} {∂t}}

che è definito come:
ϕ \u003d BA \\ cos (θ)

La parte chiave del problema qui sta trovando la velocità di cambiamento del flusso, ma poiché il problema è abbastanza semplice, puoi sostituire la derivata parziale con un semplice "cambiamento in" ciascuno quantità. E l'integrale significa davvero solo la forza elettromotrice, quindi puoi riscrivere la legge di induzione di Faraday come:
\\ text {EMF} \u003d - \\ frac {∆BA \\ cos (θ)} {∆t}

Se noi supponiamo che il ciclo del filo sia allineato normalmente con il campo magnetico, θ
\u003d 0 ° e quindi cos ( θ
) \u003d 1. Questo lascia:
\\ text {EMF} \u003d - \\ frac {∆BA} {∆t}

Il problema può quindi essere risolto trovando la differenza tra il campo magnetico iniziale e finale e l'area del circuito, come segue:
\\ begin {allineato} \\ text {EMF} &\u003d - \\ frac {∆BA} {∆t} \\\\ &\u003d - \\ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\\\ &\u003d - \\ frac {(10 \\ text {T} - 1 \\ text {T}) × π × (0.2 \\ text {m}) ^ 2} {5 \\ text {s}} \\\\ &\u003d - 0,23 \\ text {V} \\ end {allineato }

Questa è solo una piccola tensione, ma la legge di Faraday viene applicata allo stesso modo indipendentemente.
Esempi di equazioni di Maxwell: Legge di Ampere-Maxwell

La legge di Ampere-Maxwell è l'ultima di Le equazioni di Maxwell che dovrai applicare su base regolare. L'equazione ritorna alla legge di Ampere in assenza di un campo elettrico mutevole, quindi questo è l'esempio più semplice da considerare. Puoi usarlo per derivare l'equazione per un campo magnetico risultante da un filo dritto che trasporta una corrente I
, e questo esempio di base è sufficiente per mostrare come viene usata l'equazione. La legge completa è:
\\ int \\ bm {B ∙} d \\ bm {s} \u003d μ_0 I + \\ frac {1} {c ^ 2} \\ frac {∂} {∂t} \\ int \\ bm { E ∙} d \\ bm {A}

Ma senza cambiare il campo elettrico si riduce a:
\\ int \\ bm {B ∙} d \\ bm {s} \u003d μ_0 I

Ora, come con Gauss 'legge, se si sceglie un cerchio per la superficie, centrato sull'anello del filo, l'intuizione suggerisce che il campo magnetico risultante sarà simmetrico, e quindi è possibile sostituire l'integrale con un semplice prodotto della circonferenza dell'anello e del magnetico intensità di campo, lasciando:
B × 2πr \u003d μ_0 I

La divisione per 2π_r_ dà:
B \u003d \\ frac {μ_0 I} {2πr}

Qual è l'espressione accettata per il campo magnetico in una distanza r
risultante da un filo dritto che trasporta una corrente.
Onde elettromagnetiche

Quando Maxwell ha assemblato la sua serie di equazioni, ha iniziato a trovare soluzioni per spiegare vari fenomeni nel mondo reale e l'intuizione che ha dato alla luce è uno dei risultati più importanti che ha ottenuto.

B poiché un campo elettrico mutevole genera un campo magnetico (secondo la legge di Ampere) e un campo magnetico mutevole genera un campo elettrico (secondo la legge di Faraday), Maxwell ha scoperto che un'onda elettromagnetica autopropagante potrebbe essere possibile. Usò le sue equazioni per trovare l'equazione delle onde che descrivesse tale onda e decise che avrebbe viaggiato alla velocità della luce. Questo è stato una specie di "eureka" momento; si rese conto che la luce è una forma di radiazione elettromagnetica, che funziona esattamente come il campo che immaginava!

Un'onda elettromagnetica è costituita da un'onda di campo elettrico e un'onda di campo magnetico che oscilla avanti e indietro, allineata ad angolo retto rispetto a ciascuna altro. L'oscillazione della parte elettrica dell'onda genera il campo magnetico e l'oscillazione di questa parte a sua volta produce di nuovo un campo elettrico, avanti e indietro mentre viaggia attraverso lo spazio.

Come qualsiasi altra onda, un elettromagnetico l'onda ha una frequenza e una lunghezza d'onda, e il prodotto di queste è sempre uguale a c
, la velocità della luce. Le onde elettromagnetiche ci circondano e, oltre alla luce visibile, altre lunghezze d'onda sono comunemente chiamate onde radio, microonde, infrarossi, ultravioletti, raggi X e raggi gamma. Tutte queste forme di radiazione elettromagnetica hanno la stessa forma base spiegata dalle equazioni di Maxwell, ma le loro energie variano con la frequenza (cioè, una frequenza più alta significa un'energia più alta).

Quindi, per un fisico, era Maxwell che ha detto: "Lascia che ci sia luce!"