Rompi come calcolare il momento del quadrupolo elettrico nel modello a particella singola estrema.

Comprensione delle basi

* Momento quadrupolo elettrico: Questa quantità misura la deviazione di una distribuzione di carica dalla simmetria sferica. Un momento quadrupolo positivo indica una forma prolata (simile a un calcio), mentre un momento negativo indica una forma oblata (simile a un pancake).

* Modello Extreme Single-Particle: Questo modello semplifica il nucleo supponendo che tutti i nucleoni (protoni e neutroni) tranne uno siano in un nucleo sfericamente simmetrico. La singola particella al di fuori del nucleo contribuisce l'intero momento quadrupolo.

Calcolo

1. Considera la singola particella: Dobbiamo concentrarci sulla singola particella al di fuori del nucleo. Supponiamo che abbia una carica *e *ed è in un orbitale con momento angolare *l *.

2. Quantizzare il momento angolare: Nella meccanica quantistica, il componente*z*del momento angolare è quantizzato, il che significa che può assumere valori discreti solo:*m*ħ, dove*m*varia da -*l*a +*l*.

3. Definire l'operatore del momento quadrupolo: L'operatore del momento quadrupolo, *Q *, è dato da:

*Q*=(2/e) σ*i*(3*z _i 2 - *r _i 2 )

* * i * indica ogni particella nel nucleo.

* * z _i *è il *z *-coordinate della particella *i *-th.

* * r _i *è la distanza radiale della particella *i *-th dal centro del nucleo.

4. Valuta la singola particella: Dato che abbiamo a che fare con il modello Extreme Single Particle, dobbiamo solo considerare il contributo della singola particella:

*Q*=(2/E) (3*Z 2 - *r 2 )

5. Express in coordinate sferiche: Convertire * z * e * r * in coordinate sferiche (r, θ, φ):

* * z * =* r * cos (θ)

* * r 2 * =* r 2 *

6. Semplifica: Sostituire l'equazione del momento del quadrupolo:

*Q *=(2/e) *r 2 (3 cos 2 (θ) - 1)

7. Media su coordinate angolari: Il momento quadrupolo è un valore di aspettativa. Per trovarlo, dobbiamo in media su tutti gli angoli possibili:

*Q *=(2/e) *r 2 ∫ ₀ 2π dφ ∫ ₀ π sin (θ) (3 cos 2 (θ) - 1) dθ

8. Valuta gli integrali: L'integrale valuta a:

*Q *=(4/5) *e * *r 2

9. Espressione finale: Il momento del quadrupolo elettrico per una singola particella nel modello estremo a singola particella è:

*Q *=(4/5) *e * *r 2

Interpretazione

*Il momento quadrupolo dipende dalla carica (*e*) e dalla distanza radiale quadrata (*r 2 *) della singola particella.

* Un * R * più grande (particella più lontano dal nucleo) porta a un momento quadrupolo più grande.

* Il segno del momento del quadrupolo (positivo in questo caso) indica una forma prolata, coerente con una singola particella seduta all'esterno di un nucleo sfericamente simmetrico.

Nota: Questo calcolo assume una singola particella nel nucleo. Per i nuclei reali, contribuiscono a più particelle e sono necessari modelli più sofisticati per calcolare accuratamente il momento del quadrupolo.