Le parole "incertezza" e "criteri multipli" caratterizzano la rilevanza e la complessità dei problemi moderni relativi al controllo di oggetti e processi dinamici. Infatti, qualsiasi modello matematico che descriva processi controllati complessi include inevitabilmente imprecisioni nella descrizione delle perturbazioni e dei parametri dell'oggetto di controllo. Ignorare tale "incertezza" porta spesso a errori fatali nel funzionamento dei sistemi di controllo reali.

D'altra parte, i requisiti per il sistema di controllo sono spesso contraddittori, che porta naturalmente alla formulazione di problemi multicriteri, quale, se risolto con successo, eliminare almeno quelle soluzioni che sono ovviamente "inefficienti". È noto che i problemi di controllo multicriterio sono molto difficili da risolvere. Queste difficoltà acquistano una portata molto maggiore quando c'è incertezza nella regolazione dei parametri di un sistema e disturbi; perciò, qualsiasi progresso nello sviluppo della teoria e dei metodi per risolvere tali problemi è molto prezioso e rilevante sia negli aspetti teorici che applicati.

Secondo Dmitry Balandin, capo ricercatore del Laboratorio di Sistemi Informativi e Diagnostica Tecnica, professore del Dipartimento di Equazioni Differenziali, Analisi Matematica e Numerica presso l'UNN Institute of Information Technologies, Matematica e Meccanica, il risultato principale del lavoro svolto dal suo gruppo di ricerca consiste nello sviluppo di nuovi metodi per la progettazione di controllori di oggetti dinamici sotto forma di feedback. Questi metodi sono stati sviluppati sulla base delle moderne conquiste della teoria del controllo, la teoria delle disuguaglianze matriciali lineari e la teoria dell'ottimizzazione convessa.

"L'oggetto della nostra indagine è un sistema di equazioni differenziali o alle differenze ordinarie che descrivono la dinamica dell'oggetto in esame. Si presume che l'oggetto dinamico sia soggetto a vari tipi di effetti esterni. In particolare, possono includere gli effetti rappresentati da funzioni vettoriali del tempo integrabili al quadrato arbitrario, gli effetti di natura casuale descritti come rumore bianco gaussiano con matrice di covarianza sconosciuta, effetti pulsati con un'intensità di impatto sconosciuta, effetti armonici con frequenza e ampiezza sconosciute, "dice Baladin.

Lo scopo del controllo è progettare un feedback (dallo stato misurato o dall'uscita misurata), che prevede l'estinzione del disturbo insorto nel sistema e generato da questi effetti. Gli indicatori di qualità dei processi transitori, ulteriormente indicati come livelli di estinzione del disturbo, sono determinati per ciascuna classe di effetti esterni e sono il massimo (per tutti gli effetti di una data classe) del rapporto tra la norma dell'uscita controllata dal sistema e la norma dell'effetto esterno. La naturale tendenza a migliorare i processi transitori porta a problemi di controllo ottimale consistenti nel minimizzare i livelli di estinzione del disturbo.

Alcuni semplici esempi mostrano che la legge di controllo che riduce al minimo il livello di spegnimento per una classe è lungi dall'essere la migliore per un'altra classe. Così, Per esempio, il controllo che fornisce la migliore estinzione di un disturbo generato da effetti periodici differisce significativamente dalle leggi di controllo che assicurano l'estinzione di un disturbo generato da effetti d'urto. Così, si pone il problema di trovare un compromesso nella sintesi delle leggi di controllo per l'oggetto soggetto ad effetti di classi diverse. Questo problema è essenzialmente un problema di controllo multicriterio.

Nella teoria dell'ottimizzazione, problemi multicriteri, anche in una formulazione a dimensione finita, sono tradizionalmente molto difficili da risolvere. Ciò è ancora più vero per i problemi di controllo ottimale multicriterio, e l'impostazione di problemi di controllo multicriterio tenendo conto di fattori incerti complica ulteriormente il problema. Negli ultimi decenni, sono stati compiuti progressi significativi nella risoluzione dei problemi di controllo ottimale con criteri che hanno chiare interpretazioni fisiche sotto forma di livelli di spegnimento per disturbi deterministici o stocastici di classi diverse. Però, il trattamento di problemi multicriteri con questi criteri causa ancora notevoli difficoltà. Queste difficoltà sono dovute, innanzitutto, alla complessità di caratterizzare l'insieme di Pareto e trovare la corrispondente funzione multiobiettivo scalare che determinerebbe questo insieme.

Si scopre anche che il problema è ancora più complicato, poiché ciascuno dei criteri è caratterizzato dalla sua funzione Lyapunov quadratica, e l'ottimizzazione scalare della funzione multiobiettivo sotto forma di una convoluzione lineare standard porta nel caso generale ad un sistema bilineare difficilmente risolvibile rispetto alle matrici di queste funzioni di Lyapunov e alla matrice di retroazione del regolatore. Per costruire una soluzione approssimata di un tale sistema, di regola, viene imposta un'ulteriore condizione dell'uguaglianza di tutte le funzioni di Lyapunov tra loro, che introduce una certa dose di conservatorismo nel problema. Fino ad ora, la domanda principale è rimasta senza risposta:in che misura le leggi di controllo risultanti differiscono da quelle Pareto ottimali?

Nelle loro ultime pubblicazioni, Scienziati dell'Università Lobachevsky, in co-autore con i loro colleghi dell'Università statale di architettura e ingegneria civile di Nizhny Novgorod, ha risposto a questa domanda e fornito stime numeriche della deviazione delle soluzioni subottimali nei problemi multicriteri da quelli Pareto ottimali, e anche fornire nuove soluzioni Pareto ottimali esatte per alcuni tipi di criteri.

Un'importante applicazione considerata negli articoli recenti è il problema del controllo del movimento di un rotore in cuscinetti magnetici attivi (AMB). L'idea di controllare il campo magnetico per sospendere corpi ferromagnetici è stata a lungo ampiamente applicata nei moderni dispositivi tecnici, soprattutto nei sistemi a rotore. Gli studi teorici e applicati in questo campo hanno una storia di diversi decenni in Russia e all'estero.

A Nizhny Novgorod, la ricerca teorica e applicata nel campo dei sistemi di rotori con cuscinetti magnetici attivi è stata condotta per molti anni presso l'Istituto di ricerca di matematica applicata e cibernetica dell'Università Lobachevsky e presso l'Afrikantov OKBM.

Nonostante il gran numero di pubblicazioni sui cuscinetti magnetici attivi, i temi del miglioramento del sistema di controllo automatico per AMB rimangono al centro dell'attenzione di ricercatori e ingegneri. I requisiti tecnici per tali sistemi sono estremamente esigenti, il principale di questi è l'elevata velocità del rotore e il funzionamento senza problemi del sistema "rotore in cuscinetti magnetici attivi" per un periodo piuttosto lungo.

Per garantire il rispetto di tali requisiti, è necessario migliorare significativamente l'affidabilità del sistema, il che è possibile solo semplificando notevolmente gli algoritmi di controllo nell'AMB. Matematicamente, questo problema è formulato come un problema di controllo ottimo multicriterio, dove i criteri riflettono vari, a volte requisiti contrastanti per il funzionamento affidabile dell'oggetto di controllo.

"Come risultato dell'applicazione della teoria di cui sopra, è stato possibile sintetizzare nuove leggi che regolano il moto del rotore in cuscinetti magnetici attivi per garantire un funzionamento affidabile del sistema quando i parametri del rotore e i disturbi che agiscono sul rotore non sono noti con precisione, " conclude il professor Balandin.