Un nastro di Möbius. Credito:cosma/shutterstock.com
Molto probabilmente hai incontrato oggetti unilaterali centinaia di volte nella tua vita quotidiana - come il simbolo universale per il riciclaggio, trovato stampato sul retro di lattine di alluminio e bottiglie di plastica.
Questo oggetto matematico è chiamato nastro di Möbius. Ha affascinato gli ambientalisti, artisti, ingegneri, matematici e molti altri fin dalla sua scoperta nel 1858 da parte di August Möbius, un matematico tedesco morto 150 anni fa, il 26 settembre, 1868.
Möbius scoprì la striscia unilaterale nel 1858 mentre prestava servizio come cattedra di astronomia e meccanica superiore presso l'Università di Lipsia. (Un altro matematico di nome Listing lo descrisse effettivamente alcuni mesi prima, ma non pubblicò il suo lavoro fino al 1861.) Möbius sembra aver incontrato il nastro di Möbius mentre lavorava sulla teoria geometrica dei poliedri, figure solide composte da vertici, bordi e facce piane.
Un nastro di Möbius può essere creato prendendo una striscia di carta, dandogli un numero dispari di mezze torsioni, quindi unire le estremità insieme per formare un anello. Se prendi una matita e disegna una linea lungo il centro della striscia, vedrai che la linea apparentemente corre lungo entrambi i lati dell'anello.
Il concetto di oggetto unilaterale ha ispirato artisti come il grafico olandese M.C. Escher, la cui xilografia "Striscia di Möbius II" mostra formiche rosse che strisciano una dopo l'altra lungo una striscia di Möbius.
Il nastro di Möbius ha più di una proprietà sorprendente. Ad esempio, prova a prendere un paio di forbici e a tagliare la striscia a metà lungo la linea che hai appena disegnato. Potresti essere sorpreso di scoprire che non ti rimangono due strisce di Möbius più piccole su un lato, ma invece con un lungo anello a due lati. Se non hai un pezzo di carta a portata di mano, La xilografia di Escher "Nastro di Möbius I" mostra cosa succede quando un nastro di Möbius viene tagliato lungo la sua linea centrale.
Mentre la striscia ha certamente un fascino visivo, il suo maggiore impatto è stato in matematica, dove ha contribuito a stimolare lo sviluppo di un intero campo chiamato topologia.
Un topologo studia le proprietà degli oggetti che si conservano quando vengono spostati, piegato, allungato o attorcigliato, senza tagliare o incollare le parti insieme. Per esempio, un paio di auricolari aggrovigliati è in senso topologico uguale a un paio di auricolari districati, perché cambiare l'uno nell'altro richiede solo lo spostamento, piegarsi e torcersi. Non è necessario tagliare o incollare per trasformare tra loro.
Un'altra coppia di oggetti topologicamente uguali sono una tazzina da caffè e una ciambella. Poiché entrambi gli oggetti hanno un solo foro, uno può essere deformato nell'altro semplicemente allungando e piegando.
Una tazza si trasforma in una ciambella. Credito:Wikimedia Commons
Il numero di fori in un oggetto è una proprietà che può essere modificata solo attraverso il taglio o l'incollaggio. Questa proprietà – chiamata “genere” di un oggetto – ci permette di dire che un paio di auricolari e una ciambella sono topologicamente differenti, poiché una ciambella ha un buco, mentre un paio di auricolari non ha buchi.
Sfortunatamente, un nastro di Möbius e un anello a due lati, come un tipico braccialetto di consapevolezza in silicone, entrambi sembrano avere un buco, quindi questa proprietà è insufficiente per distinguerli, almeno dal punto di vista di un topologo.
Anziché, la proprietà che distingue un nastro di Möbius da un'ansa a due lati è detta orientabilità. Come il suo numero di buchi, l'orientabilità di un oggetto può essere modificata solo attraverso il taglio o l'incollaggio.
Immagina di scrivere una nota su una superficie trasparente, poi fare un giro su quella superficie. La superficie è orientabile se, quando torni dalla tua passeggiata, puoi sempre leggere la nota. Su una superficie non orientabile, potresti tornare dalla tua passeggiata solo per scoprire che le parole che hai scritto si sono apparentemente trasformate nella loro immagine speculare e possono essere lette solo da destra a sinistra. Sul ciclo a due lati, la nota si leggerà sempre da sinistra a destra, non importa dove ti ha portato il tuo viaggio.
All'avvio della GIF, i punti elencati in senso orario sono neri, blu e rosso. Però, possiamo spostare la configurazione a tre punti attorno al nastro di Möbius in modo che la figura si trovi nella stessa posizione, ma i colori dei punti elencati in senso orario ora sono rossi, blu e nero. In qualche modo, la configurazione si è trasformata nella propria immagine speculare, ma tutto ciò che abbiamo fatto è spostarlo sulla superficie. Questa trasformazione è impossibile su una superficie orientabile come l'ansa a due lati. Credito:David Gunderman.
Poiché il nastro di Möbius non è orientabile, considerando che il ciclo a due lati è orientabile, ciò significa che il nastro di Möbius e l'anello a due lati sono topologicamente diversi.
Il concetto di orientabilità ha importanti implicazioni. Prendi gli enantiomeri. Questi composti chimici hanno le stesse strutture chimiche, tranne per una differenza fondamentale:sono immagini speculari l'una dell'altra. Per esempio, la L-metanfetamina chimica è un ingrediente degli inalatori di vapore Vicks. La sua immagine speculare, D-metanfetamina, è una droga illegale di classe A. Se vivessimo in un mondo non orientabile, queste sostanze chimiche sarebbero indistinguibili.
La scoperta di August Möbius ha aperto nuovi modi per studiare il mondo naturale. Lo studio della topologia continua a produrre risultati sorprendenti. Per esempio, l'anno scorso, La topologia ha portato gli scienziati a scoprire strani nuovi stati della materia. Medaglia Fields di quest'anno, la più alta onorificenza in matematica, è stato assegnato ad Akshay Venkatesh, un matematico che ha contribuito a integrare la topologia con altri campi come la teoria dei numeri.
Questo articolo è stato ripubblicato da The Conversation con una licenza Creative Commons. Leggi l'articolo originale. 
