A volte è necessario trovare un vettore diverso da zero che, moltiplicato per una matrice quadrata, ci restituirà un multiplo del vettore. Questo vettore diverso da zero viene chiamato "autovettore". Gli autovettori non sono solo di interesse per i matematici, ma per gli altri nelle professioni come la fisica e l'ingegneria. Per calcolarli, dovrai comprendere l'algebra e i determinanti della matrice.

Scopri e comprendi la definizione di un "autovettore". Si trova per una matrice quadratica n n n A e anche un autovalore scalare chiamato "lambda". Lambda è rappresentato dalla lettera greca, ma qui lo abbreviaremo a L. Se esiste un vettore diverso da zero x dove Ax = Lx, questo vettore x è chiamato "autovalore di A."

Trova gli autovalori della matrice usando l'equazione caratteristica det (A - LI) = 0. "Det" sta per determinante, e "I" è la matrice di identità.

Calcola l'autovettore per ciascun autovalore trovando un eigenspace E (L), che è lo spazio nullo dell'equazione caratteristica. I vettori non zeri di E (L) sono gli autovettori di A. Questi si trovano rimettendo gli autovettori nella matrice caratteristica e trovando una base per A - LI = 0.

Esercitati con i passaggi 3 e 4 di studiando la matrice a sinistra. Viene mostrata una matrice quadrata 2 x 2.

Calcola gli autovalori con l'uso dell'equazione caratteristica. Det (A - LI) è (3 - L) (3 - L) --1 = L ^ 2 - 6L + 8 = 0, che è il polinomio caratteristico. Risolvere questo algebricamente ci dà L1 = 4 e L2 = 2, che sono gli autovalori della nostra matrice.

Trova l'autovettore per L = 4 calcolando lo spazio nullo. Fatelo posizionando L1 = 4 nella matrice caratteristica e trovando la base per A - 4I = 0. Risolvendo questo, troviamo x - y = 0, o x = y. Questo ha solo una soluzione indipendente poiché sono uguali, come x = y = 1. Pertanto, v1 = (1,1) è un autovettore che abbraccia l'eigenspace di L1 = 4.

Ripeti il ​​passaggio 6 a trova l'autovettore per L2 = 2. Troviamo x + y = 0 o x = --y. Questo ha anche una soluzione indipendente, diciamo x = - 1 e y = 1. Quindi v2 = (--1,1) è un autovettore che abbraccia l'eigenspace di L2 = 2.