Il Wronskian è un determinante formulato dal matematico e filosofo polacco J &# xF3; zef Maria Ho ë ne-Wro &# x144; sci. È usato per scoprire se due o più funzioni sono linearmente indipendenti. Le funzioni che dipendono linearmente sono multipli di ciascuna, mentre quelle indipendenti linearmente non lo sono. Se il Wronskian è zero in tutti i punti, il che significa che svanisce ovunque, allora le funzioni dipendono linearmente. In termini matematici, per due funzioni f e g, ciò significa che W (f, g) = 0. Se il Wronskian è zero solo in certi punti, la dipendenza lineare non è stata dimostrata. Per calcolare il Wronskian, devi sapere come usare i determinanti e come trovare le derivate delle funzioni.
Usa la formula di Wronskian per due funzioni, come mostrato a sinistra. Il determinante è calcolato usando la formula W (f, g) = fg '- gf'. Se questo è uguale a zero per tutti i valori, le funzioni f e g sono multipli l'una dell'altra e quindi dipendono linearmente.
Risolvi il Wronskian per due funzioni. Ad esempio, per e ^ x ed e ^ 2x, il determinante è come mostrato a sinistra. La derivata per e ^ x è e ^ x, e la derivata per e ^ 2x è 2e ^ 2x. Il Wronskian è e ^ x * 2e ^ 2x - e ^ 2x * e ^ x.
Semplifica l'espressione nel secondo passaggio. Questo è uguale a 2e ^ 3x - e ^ 3x. Quindi W (e ^ x, e ^ 2x) = e ^ 3x. Poiché questo non è mai zero per qualsiasi valore di x, le due funzioni sono linearmente indipendenti.
Usa il Wronskian per tre funzioni. Il determinante per le funzioni f, g e h è W (f, g, h) = f (g'h '' - h'g '') - g (f 'h' '- h'f' ' ) + h (f 'g' '- g'f' ').
Risolvi Wronskian per tre funzioni. Ad esempio, per 1, xe x ^ 2, il determinante è come mostrato a sinistra. La prima derivata per 1 è 0, per x è 1, e per x ^ 2 è 2x. Le seconde derivate sono rispettivamente 0, 0, 2.
Inserisci i valori per il primo e il secondo derivato trovati nel passaggio due nel determinante. Il Wronskian è 1 * (1 * 2 - 0) - 0 + 0. Quindi W (1, x, x ^ 2) = 2. Poiché questo non è mai 0, le tre funzioni sono linearmente indipendenti.
