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Quando ti immergi nella trigonometria o nel calcolo, incontrerai funzioni come seno, coseno e tangente. Indovinare il valore di un'equazione trigonometrica con un grafico o una calcolatrice può essere noioso o addirittura impossibile. Ecco perché le identità trigonometriche – relazioni brevi e comprovate – sono essenziali per semplificare e risolvere queste equazioni.
Le identità a doppio angolo consentono di esprimere sin(2θ), cos(2θ) e tan(2θ) in termini di funzioni a singolo angolo. Sono un sottoinsieme delle formule più generali di somma e differenza.
Esistono due forme equivalenti:
\\(\\sin(2\\theta)=2\\sin(\\theta)\\cos(\\theta)\\)
\\(\\sin(2\\theta)=\\frac{2\\tan(\\theta)}{1+\\tan^2(\\theta)}\\)
Il coseno può essere scritto in diversi modi utili:
\\(\\cos(2\\theta)=\\cos^2(\\theta)-\\sin^2(\\theta)\\)
\\(\\cos(2\\theta)=2\\cos^2(\\theta)-1\\)
\\(\\cos(2\\theta)=1-2\\sin^2(\\theta)\\)
\\(\\cos(2\\theta)=\\frac{1-\\tan^2(\\theta)}{1+\\tan^2(\\theta)}\\)
Viene utilizzata una sola forma pratica:
\\(\\tan(2\\theta)=\\frac{2\\tan(\\theta)}{1-\\tan^2(\\theta)}\\)
Queste identità hanno un valore inestimabile quando è necessario riscrivere un'espressione trigonometrica in modo che rimanga solo un tipo di funzione. Il simbolo dell'angolo può essere qualsiasi lettera – θ, α, x o β – perché l'identità vale per tutti gli angoli.
Riscrivi cos2x+sin2x utilizzando solo sinx e cosx:
\\(\\cos(2x)+\\sin(2x)=\\bigl(2\\cos^2(x)-1\\bigr)+\\bigl(2\\sin(x)\\cos(x)\\bigr)\\)
\\(\\quad=2\\cos(x)\\bigl(\\cos(x)+\\sin(x)\\bigr)-1\\)
1. Semplifica 2cos²32–1 :
\\(2\\cos^2(32)-1=\\cos(2\\times32)=\\cos(64)\\)
2. Semplifica 2sinαcosα dove α=β⁄2 :
\\(2\\sin(α)\\cos(α)=\\sin(2\\alpha)=\\sin(\\beta)\\)
