Di Allan Robinson | Aggiornato il 30 agosto 2022
Comprendere la relazione tra la superficie di un solido e il suo volume è essenziale per ingegneri, architetti e studenti. Questa guida spiega come ricavare il volume utilizzando l'area della superficie per una varietà di forme, dai prismi semplici alle sfere complesse, senza fare affidamento sul calcolo avanzato.
Considera una S solida delimitato da due piani paralleli chiamati basi . Se ogni sezione trasversale parallela a queste basi ha la stessa area delle basi, la situazione è ideale per un calcolo semplice.
b essere l'area della base (e l'eventuale sezione trasversale).h essere la distanza perpendicolare tra i due piani di base.Per tali solidi, il volume è semplicemente il prodotto dell'area di base e dell'altezza:
V =bh
Prismi e cilindri si adattano a questo modello, ma la formula si applica anche a qualsiasi forma che soddisfi la condizione di sezione trasversale uniforme.
Ora immagina una P solida formato da una base e da un unico apice. Lascia:
h =distanza dall'apice alla base.z =distanza dalla base ad una sezione trasversale ad essa parallela.b =area della base.c =area della sezione trasversale.Per ciascuna sezione trasversale di questo tipo, il rapporto tra le aree segue:
(h – z)/h = c/b
L'applicazione della relazione di scala produce la formula classica per piramidi e coni:
V =(bh)/3
Questo funziona per qualsiasi forma base, a condizione che valga la condizione di proporzionalità.
L'area della superficie di una sfera è data da A = 4πr² . Integrando quest'area rispetto al raggio r fornisce la formula familiare del volume:
V =(4/3)πr³
Pertanto, anche i solidi più sferici possono avere i loro volumi derivati dalle loro aree superficiali.
Padroneggiando questi passaggi, puoi calcolare con sicurezza il volume di un'ampia gamma di solidi utilizzando solo la loro area superficiale e le relazioni geometriche di base.
