Di Chris Deziel, aggiornato il 30 agosto 2022
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I logaritmi possono trasformare un problema algebrico altrimenti semplice in un problema intricato. Sono spesso visti come noiosi, difficili da manipolare e in qualche modo misteriosi. La buona notizia è che rimuoverli da un'equazione è semplice se ricordi che un logaritmo è semplicemente l'inverso di un esponente.
Sebbene la base di un logaritmo possa essere qualsiasi numero positivo, le basi più comuni nella scienza sono 10 e il numero di Eulero e . In matematica, "log" denota un logaritmo in base 10 e "ln" denota un logaritmo naturale in base e .
Per eliminare i logaritmi, eleva entrambi i lati dell'equazione alla stessa potenza della base del logaritmo. Se l'equazione contiene più logaritmi, spostali tutti da un lato e semplifica prima.
Un logaritmo risponde alla domanda “a quale potenza deve essere elevata la base per produrre un dato numero?” In altre parole, il logaritmo di un numero è l'esponente necessario per ricavare quel numero dalla base. Ad esempio, \(\log_8 2 =6\) significa che 8 2 =64 . Nella notazione comune \(\log x =100\) , la base è intesa come 10, quindi la domanda diventa “10 elevato a quale potenza equivale a 100?” La risposta è 2, perché 10 2 =100 .
Poiché un logaritmo è l'operazione inversa dell'elevamento a potenza, le equazioni contenenti logaritmi possono spesso essere "districate" applicando l'esponente appropriato a entrambi i membri. Funziona finché tutti i logaritmi coinvolti condividono la stessa base.
Logaritmo semplice
\(\log x =y\)
Eleva entrambi i membri alla potenza di 10:\(10^{\log x} =10^y\) . Poiché 10^{\log x} =x , otteniamo \(x =10^y\) .
Tutti i termini sono logaritmi
\(\log (x^2 - 1) =\log (x + 1)\)
Esponenzia entrambi i membri in base 10:\(x^2 - 1 =x + 1\) . Semplificare per ottenere \(x^2 - x - 2 =0\) , le cui soluzioni sono \(x =-2\) o \(x =1\) .
Logaritmi misti e termini algebrici
Segui questi passaggi:
1. Inizia con l'equazione, ad esempio:\(\log x =\log (x - 2) + 3\) .
2. Sposta tutti i logaritmi da un lato:\(\log x - \log (x - 2) =3\) .
3. Applica le leggi del logaritmo:\(\log \left(\frac{x}{x-2}\right) =3\) .
4. Esponenzia entrambi i membri in base 10:\(\frac{x}{x-2} =10^3\) .
5. Risolvi per x :\(x =1000x - 2000 \Rightarrow -999x =-2000 \Rightarrow x =\frac{2000}{999} \circa 2.002\) .
Applicando sistematicamente queste regole, puoi eliminare i logaritmi da quasi tutte le equazioni algebriche.
