In algebra lineare, il determinante di una matrice quadrata è un valore scalare che fornisce informazioni sulle proprietà e sul comportamento della matrice. È indicato da det (a) o | a | , dove A è la matrice.

Proprietà dei determinanti:

* Moltiplicazione scalare: Il fattore determinante di un multiplo scalare di una matrice è uguale allo scalare sollevato alla potenza dell'ordine della matrice moltiplicata per il determinante della matrice originale:det (ka) =k^n det (a), dove n è l'ordine della matrice.

* Trasponi: Il determinante di una matrice è uguale al determinante della sua trasposizione:det (a) =det (a^t).

* Operazioni di riga/colonna: Le operazioni di riga o colonna elementare su una matrice influiscono sul fattore determinante come segue:

* Scambia due righe/colonne cambia il segno del determinante.

* Moltiplicare una riga/colonna per uno scalare moltiplica il determinante per quello scalare.

* L'aggiunta di un multiplo di una riga/colonna a un'altra riga/colonna non cambia il determinante.

* Matrici invertibili: Una matrice quadrata è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero.

* Dipendenza lineare: Se le righe o le colonne di una matrice dipendono linearmente, il suo determinante è zero.

Calcolo dei determinanti:

* per le matrici 2x2:

det ([[a, b], [c, d]]) =ad - bc

* per le matrici 3x3:

det ([[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]) =a (ei - fh) - b (di - fg) + c (dh - eg)

* per matrici più grandi:

I determinanti di matrici più grandi possono essere calcolati usando vari metodi, come l'espansione del cofattore, l'eliminazione gaussiana o l'uso di algoritmi specializzati.

Applicazioni dei determinanti:

* Risoluzione equazioni lineari: I determinanti vengono utilizzati nella regola di Cramer per risolvere i sistemi di equazioni lineari.

* Trovare autovalori: I determinanti sono usati per trovare gli autovalori di una matrice.

* Aree e volumi di calcolo: I determinanti possono essere utilizzati per calcolare l'area di un parallelogramma e il volume di un parallelepiped.

* Trasformazioni geometriche: I determinanti sono usati in geometria per rappresentare il fattore di ridimensionamento delle trasformazioni lineari.

Esempio:

Considera la matrice A =[[2, 1], [3, 4]].

Il determinante di A è:

det (a) =(2 * 4) - (1 * 3) =8 - 3 =5.

Poiché il determinante è diverso da zero, la matrice A è invertibile.