Molti studenti hanno difficoltà a trovare la distanza tra due punti su una linea retta, è più difficile per loro quando devono trovare la distanza tra due punti lungo una curva. Questo articolo, a proposito di un problema di esempio, mostrerà come trovare questa distanza.

Per trovare la distanza tra due punti A (x1, y1) e B (x2, y2) su una linea retta sul xy-plane, usiamo la Distance Formula, che è ... d (AB) = √ [(x1-y1) ^ 2 + (x2-y2) ^ 2]. Mostreremo ora come funziona questa formula con un problema di esempio. Clicca sull'immagine per vedere come è fatto.

Ora troveremo la distanza tra due punti A e B su una curva definita da una funzione f (x) su un intervallo chiuso [a, b] . Per trovare questa distanza dovremmo usare la formula s = L'integrale, tra il limite inferiore, a, e il limite superiore, b, dell'integrand √ (1 + [f '(x)] ^ 2) rispetto alla variabile di integrazione, dx. Fare clic sull'immagine per una vista migliore.

La funzione che useremo come problema di esempio, nell'intervallo chiuso, [1,3], è ... f (x) = (1 /2) [(x + 4) √ [(x + 4) ^ 2-1] -ln [(x + 4) + √ [(x + 4) ^ 2-1]]]. la derivata di questa funzione, è ... f '(x) = √ [(x + 4) ^ 2-1], ora quadreremo entrambi i lati della funzione della derivata. Questo è [f '(x)] ^ 2 = [√ [(x + 4) ^ 2-1]] ^ 2, che ci dà [f' (x)] ^ 2 = (x + 4) ^ 2 - 1. Ora sostituiamo questa espressione nella formula della lunghezza dell'arco /Integrale di, s. quindi Integrare.

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Quindi per sostituzione, abbiamo il seguente: s = L'integrale, tra il limite inferiore, 1 e il limite superiore , 3, dell'integrand √ (1 + [f '(x)] ^ 2) = l'integrando √ (1 + (x + 4) ^ 2 - 1). che è uguale a √ ((x + 4) ^ 2). Eseguendo l'antiderivata su questo Integrand e con il Teorema Fondamentale del Calcolo, otteniamo ... {[(x ^ 2) /2] + 4x} in cui sostituiamo prima il limite superiore, 3, e da questo risultato, sottraiamo il risultato della sostituzione del limite inferiore, 1. Quello è {[(3 ^ 2) /2] + 4 (3)} - {[(1 ^ 2) /2] + 4 (1)} che è uguale a {[(9/2) + 12]} - {[(1/2) + 4]} = {(33/2) - (9/2)} che è uguale a (24/2) = 12. Quindi l'Arclength /distanza della funzione /curva sull'intervallo [1,3], è, 12 unità.