Sia che si tratti di una pattinatrice su ghiaccio che tira tra le sue braccia e gira più veloce di lei o di un gatto che controlla la velocità con cui gira durante una caduta per assicurarsi che atterra sulla sua piedi, il concetto di un momento d'inerzia è cruciale per la fisica del moto rotazionale.

Altrimenti noto come inerzia rotazionale, il momento d'inerzia è l'analogo rotazionale della massa nella seconda delle leggi del moto di Newton, descrivendo la tendenza di un oggetto a resistere all'accelerazione angolare.

Il concetto potrebbe inizialmente non sembrare troppo interessante, ma in combinazione con la legge di conservazione del momento angolare, può essere usato per descrivere molti affascinanti fenomeni fisici e prevedere il moto in una vasta gamma di situazioni.
Definizione del momento d'inerzia

Il momento d'inerzia di un oggetto descrive la sua resistenza all'accelerazione angolare, tenendo conto della distribuzione della massa attorno al suo asse di rotazione n.

In sostanza quantifica quanto sia difficile cambiare la velocità della rotazione di un oggetto, sia che ciò significhi iniziare la sua rotazione, fermarlo o cambiare la velocità di un oggetto già rotante.

È a volte chiamato inerzia rotazionale, ed è utile pensarlo come un analogo della massa nella seconda legge di Newton: F _{net
\u003d ma
. Qui, la massa di un oggetto viene spesso chiamata massa inerziale e descrive la resistenza dell'oggetto al movimento (lineare). L'inerzia rotazionale funziona in questo modo per il movimento rotazionale e la definizione matematica include sempre la massa.}

L'espressione equivalente alla seconda legge per il movimento rotazionale si riferisce a coppia
( τ
, analogo rotazionale della forza) all'accelerazione angolare α
e momento di inerzia I
: τ
\u003d Iα
.

Lo stesso oggetto può avere più momenti di inerzia, tuttavia, poiché mentre gran parte della definizione riguarda la distribuzione della massa, tiene conto anche della posizione dell'asse di rotazione.

Ad esempio, mentre il il momento d'inerzia per un'asta che ruota attorno al suo centro è I
\u003d ML
^{2/12 (dove M
è massa e L
è la lunghezza dell'asta), la stessa asta che ruota attorno a un'estremità ha un momento di inerzia dato da I
\u003d ML
2/3.
Equazioni per Momento di inerzia}

Quindi il momento di inerzia di un corpo dipende dalla sua massa M
, dal suo raggio R
e dal suo asse di rotazione zione.

In alcuni casi, R
è indicato come d
, per la distanza dall'asse di rotazione, e in altri (come con l'asta nel precedente sezione) è sostituito da lunghezza, L
. Il simbolo I
viene utilizzato per il momento di inerzia e ha unità di kg m ^2.

Come ci si potrebbe aspettare in base a quanto appreso finora, ci sono molte equazioni diverse per il momento d'inerzia, e ognuna si riferisce a una forma specifica e ad un asse di rotazione specifico. In tutti i momenti di inerzia, appare il termine MR
^{2, sebbene per forme diverse ci siano diverse frazioni di fronte a questo termine, e in alcuni casi possono essere sommati più termini insieme.}

Il componente MR
^{2 è il momento di inerzia per una massa punto a una distanza R
dall'asse di rotazione e l'equazione per un corpo rigido specifico è costruito come una somma di masse di punti o integrando un numero infinito di masse di piccoli punti sull'oggetto.}

Mentre in alcuni casi può essere utile derivare il momento d'inerzia di un oggetto basato su un semplice somma aritmetica delle masse puntuali o integrando, in pratica ci sono molti risultati per forme e assi di rotazione comuni che puoi semplicemente usare senza bisogno di derivarne prima:

Cilindro solido (asse di simmetria):
I \u003d \\ frac {1} {2} MR ^ 2

Cilindro solido (asse del diametro centrale o diametro della sezione circolare al centro del cilindro):
I \u003d \\ frac {1} {4} MR ^ 2 + \\ frac {1} {12} ML ^ 2

Sfera solida (asse centrale):
I \u003d \\ frac {2} {5} MR ^ 2

Conchiglia sferica sottile (asse centrale ):
I \u003d \\ frac {2} {3} MR ^ 2

Cerchio (asse di simmetria, cioè perpendicolarmente attraverso il centro):
I \u003d MR ^ 2

Cerchio (asse del diametro, cioè, attraverso il diametro del cerchio formato dal cerchio):
I \u003d \\ frac {1} {2} MR ^ 2

Asta (asse centrale, perpendicolare alla lunghezza dell'asta):
I \u003d \\ frac {1} {12} ML ^ 2

Asta (ruotando attorno all'estremità):
I \u003d \\ frac {1} {3} ML ^ 2 Inerzia rotazionale e asse di rotazione

Comprensione del perché ci sono diverse equazioni per ogni asse di rotazione è un passo fondamentale per cogliere il concetto di un momento di inerzia.

Pensa a una matita: puoi ruotarla ruotandola nel mezzo, alla fine o ruotandolo attorno al suo asse centrale. Poiché l'inerzia rotazionale di un oggetto dipende dalla distribuzione della massa attorno all'asse di rotazione, ognuna di queste situazioni è diversa e richiede un'equazione separata per descriverla.

È possibile ottenere una comprensione istintiva del concetto di momento di inerzia se si scala questo stesso argomento fino a un palo di bandiera di 30 piedi.

Girarlo da capo a capo sarebbe molto difficile - se si potesse gestirlo del tutto - mentre si fa girare il palo attorno al suo asse centrale sarebbe molto più facile. Questo perché la coppia dipende fortemente dalla distanza dall'asse di rotazione e, nell'esempio del palo della bandiera da 30 piedi, ruotarla su una estremità comporta ogni estremità estrema a 15 piedi dall'asse di rotazione.

Tuttavia , se lo giri attorno all'asse centrale, tutto è abbastanza vicino all'asse. La situazione è molto simile al trasporto di un oggetto pesante a distanza di braccio rispetto al tenerlo vicino al corpo o azionare una leva dall'estremità rispetto al fulcro.

Ecco perché è necessaria un'equazione diversa per descrivere il momento d'inerzia per lo stesso oggetto in base all'asse di rotazione. L'asse scelto influisce sulla distanza delle parti del corpo dall'asse di rotazione, anche se la massa del corpo rimane la stessa.
Utilizzo delle equazioni per il momento d'inerzia

La chiave per calcolare il il momento di inerzia per un corpo rigido sta imparando a usare e applicare le equazioni appropriate.

Considera la matita della sezione precedente, essendo stata fatta ruotare su un punto centrale lungo la sua lunghezza. Sebbene non sia un'asta perfetta
(la punta appuntita rompe questa forma, per esempio) può essere modellata come tale per evitare di dover attraversare un momento pieno di derivazione d'inerzia per l'oggetto. >

Quindi, modellando l'oggetto come un'asta, per trovare il momento d'inerzia, utilizzare la seguente equazione, combinata con la massa totale e la lunghezza della matita:
I \u003d \\ frac {1} {12} ML ^ 2

Una sfida più grande è trovare il momento d'inerzia per gli oggetti compositi.

Ad esempio, considera due sfere collegate tra loro da un'asta (che tratteremo come prive di massa per semplificare il problema). La sfera 1 è di 2 kg e posizionata a 2 m di distanza dall'asse di rotazione, e la sfera 2 ha una massa di 5 kg e 3 m di distanza dall'asse di rotazione.

In questo caso, è possibile trovare il momento di inerzia per questo oggetto composito considerando ogni palla come una massa in punti e lavorando dalla definizione di base che:
\\ begin {allineato} I &\u003d m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 + m_3r_3 ^ 2…. \\\\ &\u003d \\ sum _ {\\ mathclap {i}} m_ir_i ^ 2 \\ end {allineato}

Con gli abbonamenti che si differenziano semplicemente tra oggetti diversi (es. palla 1 e palla 2). L'oggetto a due sfere avrebbe quindi:
\\ begin {allineato} I &\u003d m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 \\\\ &\u003d 2 \\; \\ text {kg} × (2 \\; \\ text {m}) ^ 2 + 5 \\; \\ text {kg} × (3 \\; \\ text {m}) ^ 2 \\\\ &\u003d 8 \\; \\ text {kg m} ^ 2 + 45 \\; \\ text {kg m} ^ 2 \\\\ &\u003d 53 \\; \\ text {kg m} ^ 2 \\ end {align} Momento di inerzia e conservazione del momento angolare

Il momento angolare (analogo rotazionale del momento lineare) è definito come il prodotto dell'inerzia rotazionale (cioè il momento d'inerzia, I
) dell'oggetto e la sua velocità angolare ω
), che viene misurata in gradi /so rad /s.

Avrai sicuramente familiarità con la legge di conservazione del momento lineare e anche il momento angolare viene conservato allo stesso modo. L'equazione per il momento angolare L
) è:
L \u003d Iω

Pensare a ciò che ciò significa in pratica spiega molti fenomeni fisici, perché (in assenza di altre forze), più alto è un oggetto inerzia rotazionale, minore è la sua velocità angolare.

Considera un pattinatore su ghiaccio che gira a una velocità angolare costante con le braccia tese e nota che le sue braccia tese aumentano il raggio R
di cui la sua massa è distribuito, portando a un momento di inerzia maggiore rispetto a se le sue braccia fossero vicine al suo corpo.

Se L
_{1 viene calcolato con le braccia tese e L
2, dopo aver attirato le braccia deve avere lo stesso valore (perché si conserva il momento angolare), cosa succede se diminuisce il suo momento d'inerzia attirando tra le sue braccia? La sua velocità angolare ω
aumenta per compensare.}

I gatti eseguono movimenti simili per aiutarli ad atterrare sui loro piedi quando cadono.

Allungando le gambe e la coda, aumentano il loro momento di inerzia e ridurre la velocità della loro rotazione, e viceversa possono attingere alle gambe per ridurre il loro momento di inerzia e aumentare la velocità di rotazione. Usano queste due strategie - insieme ad altri aspetti del loro "riflesso raddrizzante" - per assicurarsi che i loro piedi atterrino per primi, e puoi vedere distinte fasi di rannicchiarsi e allungarsi nelle fotografie time-lapse di un atterraggio di gatti.
Moment di inerzia ed energia cinetica rotazionale

Continuando i parallelismi tra moto lineare e moto rotazionale, gli oggetti hanno anche energia cinetica rotazionale nello stesso modo in cui hanno energia cinetica lineare.

Pensa a una sfera che rotola attraverso il terreno, ruotando entrambi attorno al suo asse centrale e avanzando in modo lineare: l'energia cinetica totale della palla è la somma della sua energia cinetica lineare E
_{k e della sua energia cinetica rotazionale E
rot. I parallelismi tra queste due energie si riflettono nelle equazioni per entrambi, ricordando che il momento d'inerzia di un oggetto è l'analogo rotazionale della massa e la sua velocità angolare è l'analogo rotazionale della velocità lineare v
):
E_k \u003d \\ frac {1} {2} mv ^ 2 E_ {rot} \u003d \\ frac {1} {2} Iω ^ 2}

Puoi vedere chiaramente che entrambe le equazioni hanno esattamente la stessa forma, con gli analoghi di rotazione appropriati sostituito all'equazione dell'energia cinetica rotazionale.

Naturalmente, per calcolare l'energia cinetica rotazionale, dovrai sostituire l'espressione appropriata per il momento d'inerzia dell'oggetto nello spazio per I
. Considerando la palla e modellando l'oggetto come una sfera solida, l'equazione è in questo caso:
\\ begin {allineato} E_ {rot} &\u003d \\ bigg (\\ frac {2} {5} MR ^ 2 \\ bigg ) \\ frac {1} {2} ω ^ 2 \\\\ &\u003d \\ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \\ end {allineato}

L'energia cinetica totale ( E
_{tot) è la somma di questo e dell'energia cinetica della palla, quindi puoi scrivere:
\\ begin {allineato} E_ {tot} &\u003d E_k + E_ {rot} \\\\ &\u003d \\ frac {1} {2} Mv ^ 2 + \\ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \\ end {allineato}}

Per una palla da 1 kg che si muove a una velocità lineare di 2 m /s, con un raggio di 0,3 me con una velocità angolare di 2π rad /s, l'energia totale sarebbe:
\\ begin {allineato} E_ {tot} &\u003d \\ frac {1} {2} 1 \\; \\ text {kg} × (2 \\; \\ text {m /s}) ^ 2 + \\ frac {1} {5} (1 \\; \\ text {kg} × (0.3 \\; \\ text {m}) ^ 2 × (2π \\; \\ text {rad /s}) ^ 2) \\\\ &\u003d 2 \\; \\ text {J} + 0.71 \\; \\ text {J} \\\\ &\u003d 2.71 \\; \\ text {J} \\ end {align}

A seconda della situazione, un oggetto potrebbe possedere solo energia cinetica lineare (ad esempio, una palla caduta da un'altezza senza rotazione impartita su di essa) o solo cinetica rotazionale energia (una palla che gira ma che rimane sul posto).

Ricorda che è l'energia totale che viene conservata. Se una palla viene calciata contro un muro senza rotazione iniziale e rimbalza a una velocità inferiore ma con una rotazione impartita, così come l'energia persa a causa del suono e del calore quando viene a contatto, parte dell'energia cinetica iniziale è stata trasferito all'energia cinetica rotazionale, e quindi non può probabilmente muoversi più velocemente di prima, prima di riprendersi.