In matematica, un reciproco di un numero è il numero che, quando moltiplicato per il numero originale, produce 1. Ad esempio, il reciproco per la variabile x è 1 /x, perché x • 1 /x \u003d x /x \u003d 1. In questo esempio, 1 /x è l'identità reciproca di xe viceversa. Nella trigonometria, uno degli angoli non a 90 gradi in un triangolo rettangolo può essere definito da rapporti chiamati seno, coseno e tangente. Applicando il concetto di identità reciproca, i matematici definiscono altri tre rapporti. I loro nomi sono cosecanti, secanti e cotangenti. Cosecante è l'identità reciproca del seno, secante quella del coseno e cotangente quella della tangente.
Come determinare le identità reciproche
Considera un angolo θ, che è uno dei due angoli non a 90 gradi in un triangolo rettangolo. Se la lunghezza del lato del triangolo opposto all'angolo è "b", la lunghezza del lato adiacente all'angolo e opposta agli ipoteni è "a" e la lunghezza dell'ipotenusa è "r", possiamo definire i tre rapporti trigonometrici primari in termini di queste lunghezze.
L'identità reciproca del peccato θ deve essere uguale a 1 /sin θ, poiché quello è il numero che, quando moltiplicato per sin θ, produce 1. Lo stesso vale per cos θ e tan θ. I matematici danno a questi reciproci nomi rispettivamente cosecante, secante e cotangente. Per definizione:
Puoi definire queste identità reciproche in termini di lunghezze dei lati del triangolo rettangolo come segue:
< li> csc θ \u003d r /b
Le seguenti relazioni sono vere per qualsiasi angolo θ:
Se conosci il seno e il coseno di un angolo, puoi derivare la tangente. Questo è vero perché sin θ \u003d b /r e cos θ \u003d a /r, quindi sin θ /cos θ \u003d (b /r • r /a) \u003d b /a. Poiché questa è la definizione di tan θ, segue la seguente identità, nota come identità quoziente:
L'identità pitagorica deriva dal fatto che, per ogni triangolo rettangolo con i lati aeb e ipotenusa r, è vero quanto segue: a 2 + b 2 \u003d r 2. Riorganizzando i termini e definendo i rapporti in termini di seno e coseno, si arriva alla seguente espressione: sin 2 θ + cos 2 θ \u003d 1 Altre due relazioni importanti seguire quando si inseriscono identità reciproche per seno e coseno nell'espressione precedente:
