C'è un problema: le radici di un polinomio possono essere reali o immaginarie. Le radici "reali" sono membri dell'insieme noto come numeri reali, che a questo punto della tua carriera matematica è ogni numero con cui sei abituato. La padronanza dei numeri immaginari è un argomento completamente diverso, quindi per ora, ricorda tre cose:

Il modo più versatile di trovare le radici è il factoring il tuo polinomio il più possibile, e quindi impostare ogni termine uguale a zero. Questo ha molto più senso dopo aver seguito alcuni esempi. Considera il semplice polinomio x
^{2 - 4_x: _}

1. Fattorizza il polinomio
   
   

   Un breve esame dimostra che puoi fattorizzare x
   di entrambi i termini del polinomio, che ti dà:
   

   x
   ( x
   - 4)
   

2. Trova gli zeri
   
   

   Imposta ogni termine su zero. Ciò significa risolvere due equazioni:
   

   x
   \u003d 0 è il primo termine impostato su zero e
   

   x
   - 4 \u003d 0 è il secondo termine impostato su zero.
   

   Hai già la soluzione per il primo termine. Se x
   \u003d 0, l'intera espressione è uguale a zero. Quindi x
   \u003d 0 è una delle radici, o zero, del polinomio.
   

   Ora, considera il secondo termine e risolvi per x
   . Se aggiungi 4 ad entrambi i lati avrai:
   

   x
   - 4 + 4 \u003d 0 + 4, che semplifica:
   

   x
   \u003d 4. Quindi se x
   \u003d 4 il secondo fattore è uguale a zero, il che significa che anche l'intero polinomio è uguale a zero.
   

3. Elenca le tue risposte
   
   

   Poiché il polinomio originale era di secondo grado (l'esponente più alto era due), sai che ci sono solo due possibili radici per questo polinomio. Li hai già trovati entrambi, quindi tutto ciò che devi fare è elencarli:
   

   x
   \u003d 0, x
   \u003d 4
   
   Trova Roots by Factoring: esempio 2
   

   Ecco un altro esempio di come trovare le radici tramite factoring, usando un po 'di algebra di fantasia lungo la strada. Considera il polinomio x
   ^{4 - 16. Una rapida occhiata ai suoi esponenti mostra che dovrebbero esserci quattro radici per questo polinomio; ora è il momento di trovarli.}
   

   1. Fattorizza il polinomio
      
      

      Hai notato che questo polinomio può essere riscritto come differenza dei quadrati? Quindi invece di x
      ^{4 - 16, hai:}
      

      ( x
      ^{2) 2 - 4 2}
      

      Che, usando la formula per la differenza dei quadrati, tiene conto di quanto segue:
      

      ( x
      ^{2 - 4) ( x
      2 + 4)}
      

      Il primo termine è, ancora una volta, una differenza di quadrati. Quindi, sebbene non sia possibile calcolare ulteriormente il termine a destra, è possibile aumentare ulteriormente il fattore a sinistra:
      

      ( x
      - 2) ( x
      + 2) ( x
      ^{2 + 4)}
      

   2. Trova gli zeri
      
      

      Ora è il momento di trovare gli zeri. Diventa subito chiaro che se x
      \u003d 2, il primo fattore sarà uguale a zero, e quindi l'intera espressione sarà uguale a zero.
      

      Allo stesso modo, se x
      \u003d - 2, il secondo fattore sarà uguale a zero e quindi anche l'intera espressione.
      

      Quindi x
      \u003d 2 e x
      \u003d -2 sono entrambi zeri o radici, di questo polinomio.
      

      Ma che dire dell'ultimo termine? Poiché ha un esponente "2", dovrebbe avere due radici. Ma non puoi fattorizzare questa espressione usando i numeri reali a cui sei abituato. Dovresti usare un concetto matematico molto avanzato chiamato numeri immaginari o, se preferisci, numeri complessi. Questo va ben oltre lo scopo della tua attuale pratica matematica, quindi per ora è sufficiente notare che hai due radici reali (2 e -2) e due radici immaginarie che lascerai indefinite.
      
      Trova le radici mediante rappresentazione grafica
      

      È inoltre possibile trovare o almeno stimare le radici mediante rappresentazione grafica. Ogni radice rappresenta un punto in cui il grafico della funzione attraversa l'asse x
      . Quindi, se traccia la grafica della linea e poi noti le coordinate x
      in cui la linea attraversa l'asse x
      , puoi inserire i valori stimati x
      di quei punti in la tua equazione e verifica se le hai corrette.
      

      Considera il primo esempio in cui hai lavorato, per il polinomio x
      ^{2 - 4_x_. Se lo disegni con attenzione, vedrai che la linea attraversa l'asse x
      in x
      \u003d 0 e x
      \u003d 4. Se inserisci ciascuno di questi valori nell'equazione originale, otterrai:}
      

      0 ^{2 - 4 (0) \u003d 0, quindi x
      \u003d 0 era uno zero o radice valido per questo polinomio .}
      

      4 ^{2 - 4 (4) \u003d 0, quindi x
      \u003d 4 è anche uno zero o radice valido per questo polinomio. E poiché il polinomio era di grado 2, sai che puoi smettere di cercare dopo aver trovato due radici.}