I matematici dell'Università RUDN e del Nuclear Safety Institute of the RAS (NSI RAS) hanno proposto un metodo numerico per risolvere equazioni che descrivono la propagazione della luce in un mezzo. Hanno usato l'equazione dell'icona non lineare con condizioni al contorno come base. Un problema del genere non può essere risolto direttamente, così i matematici svilupparono un metodo numerico, calcoli eseguiti, e ha prodotto un quadro del "comportamento" di tali soluzioni. I risultati potrebbero diventare la base per una teoria completa delle soluzioni approssimate di tali equazioni differenziali. Il metodo può essere applicato nella produzione di lenti e cristalli ottici. L'articolo è stato pubblicato su Journal of Computational and Applied Mathematics .

L'equazione dell'iconale è un'equazione differenziale parziale non lineare. Descrive la propagazione della luce in un mezzo ed è necessaria per risolvere problemi di ottica. Permette di collegare ottiche planari, insegnato nelle scuole, e ottica d'onda, che è descritto da equazioni complesse.

È tradizionale utilizzare un metodo basato sulla risoluzione di un ampio sistema di equazioni non lineari per trovare una soluzione numerica (cioè, per ottenere una soluzione approssimata sufficientemente accurata) per l'equazione dell'iconale.

I matematici RUDN University e NSI RAS hanno utilizzato un approccio diverso, che rende più facile trovare una soluzione per l'equazione eikonal non lineare utilizzando un metodo numerico:un cambiamento di variabili con l'aggiunta di un parametro. Il cambiamento si traduce in nuove equazioni, quale, da una parte, sono più semplici di quelli iniziali:il problema diventa lineare. D'altra parte, le loro soluzioni non sono le soluzioni del sistema originale. Però, al diminuire del parametro le soluzioni per il nuovo sistema si avvicinano alle soluzioni per quello originale.

I matematici gradualmente (di un certo valore fisso) hanno diminuito il valore del parametro aggiunto e per ciascuno di questi valori hanno risolto numericamente l'equazione. Per ogni successivo valore di parametro la soluzione risultante è stata confrontata con le precedenti. Man mano che il parametro diminuiva, le soluzioni cambiavano sempre meno, questo è, il risultato dei calcoli si è stabilizzato. Si è scoperto che una soluzione sufficientemente stabile richiede un valore del parametro relativamente piccolo. La soluzione risultante è stata presa come un'approssimazione dell'equazione originale.

I matematici hanno dimostrato che un tale metodo produce risultati abbastanza buoni su problemi di modelli rappresentativi.

"La complessità computazionale, i cosiddetti 'costi computazionali' dell'approccio di cui stiamo parlando, non supera quella di altri approcci. Sebbene, risolviamo un problema ai valori al contorno lineare, e quello, Certo, è meno laborioso che risolvere un problema non lineare, " ha spiegato Petr Vabishevich, l'autore dello studio e membro del Centro di ricerca per i metodi computazionali in matematica applicata dell'Università RUDN.

Vabishevich e i suoi coautori hanno modellato l'equazione per i mezzi anisotropi. Dal punto di vista della fisica, questo è un ambiente in cui le proprietà fisiche della propagazione della luce in direzioni diverse non sono le stesse. I materiali con queste proprietà sono ora ampiamente utilizzati nei dispositivi ottici.

Oltre all'ottica, l'equazione dell'icona è anche usata per risolvere numericamente equazioni che descrivono il moto di un fluido. Tale modellazione è necessaria per creare immagini realistiche in computer grafica, ad esempio nel film "Pirati dei Caraibi" l'acqua non era solo disegnata ma calcolata a livello fisico. La velocità di calcolo, che potrebbe essere potenzialmente migliorato dal metodo sviluppato dai matematici dell'Università RUDN e NSI RAS, gioca un ruolo chiave in questi casi.