Il 20 marzo Il matematico americano-canadese Robert Langlands ha ricevuto il Premio Abel, celebrare la carriera in matematica. La ricerca di Langlands ha dimostrato come i concetti della geometria, l'algebra e l'analisi potrebbero essere unite da un collegamento comune ai numeri primi.

Quando il re di Norvegia consegna il premio a Langlands a maggio, onorerà l'ultimo di un 2, Sforzo di 300 anni per capire i numeri primi, probabilmente il set di dati più grande e più antico in matematica.

Come matematico devoto a questo "programma Langlands, "Sono affascinato dalla storia dei numeri primi e da come i recenti progressi ne svelino i segreti. Perché hanno affascinato i matematici per millenni?

Come trovare i numeri primi?

Per studiare i numeri primi, i matematici filtrano i numeri interi attraverso una mesh virtuale dopo l'altra finché rimangono solo i numeri primi. Questo processo di setacciatura ha prodotto tabelle di milioni di numeri primi nel 1800. Consente ai computer di oggi di trovare miliardi di numeri primi in meno di un secondo. Ma l'idea centrale del setaccio non è cambiata in oltre 2, 000 anni.

"Un numero primo è quello che viene misurato dalla sola unità, "Il matematico Euclide scrisse nel 300 a.C. Ciò significa che i numeri primi non possono essere divisi equamente per nessun numero più piccolo eccetto 1. Per convenzione, i matematici non contano 1 stesso come numero primo.

Euclide dimostrò l'infinità dei numeri primi – vanno avanti all'infinito – ma la storia suggerisce che fu Eratostene a fornirci il setaccio per elencare rapidamente i numeri primi.

Ecco l'idea del setaccio. Primo, filtrare multipli di 2, poi 3, poi 5, poi 7 – i primi quattro numeri primi. Se lo fai con tutti i numeri da 2 a 100, rimarranno solo i numeri primi.

Con otto passaggi di filtraggio, si possono isolare i primi fino a 400. Con 168 passaggi di filtraggio, si possono isolare i numeri primi fino a 1 milione. Questo è il potere del crivello di Eratostene.

Tabelle e tavoli

Una delle prime figure nella tabulazione dei numeri primi è John Pell, un matematico inglese che si dedicò alla creazione di tabelle di numeri utili. Era motivato a risolvere antichi problemi aritmetici di Diofanto, ma anche da una ricerca personale per organizzare verità matematiche. Grazie ai suoi sforzi, i numeri primi fino a 100, 000 erano ampiamente diffusi all'inizio del 1700. Entro il 1800, progetti indipendenti avevano tabulato i numeri primi fino a 1 milione.

Per automatizzare i noiosi passaggi di setacciatura, un matematico tedesco di nome Carl Friedrich Hindenburg usava cursori regolabili per stampare multipli su un'intera pagina di una tabella contemporaneamente. Un altro approccio low-tech ma efficace ha utilizzato gli stampini per individuare i multipli. Verso la metà del 1800, il matematico Jakob Kulik aveva intrapreso un ambizioso progetto per trovare tutti i numeri primi fino a 100 milioni.

Questi "big data" dell'800 potrebbero essere serviti solo come tabella di riferimento, se Carl Friedrich Gauss non avesse deciso di analizzare i numeri primi fine a se stessi. Armato di una lista di numeri primi fino a 3 milioni, Gauss cominciò a contarli, un "chiliad, " o gruppo di 1000 unità, Al tempo. Ha contato i numeri primi fino a 1, 000, quindi i numeri primi tra 1, 000 e 2, 000, poi tra 2, 000 e 3, 000 e così via.

Gauss scoprì che, mentre contava più in alto, i numeri primi diventano via via meno frequenti secondo una legge "inverse-log". La legge di Gauss non mostra esattamente quanti numeri primi ci sono, ma fornisce una stima abbastanza buona. Per esempio, la sua legge prevede 72 numeri primi tra 1, 000, 000 e 1, 001, 000. Il conteggio corretto è 75 numeri primi, circa il 4% di errore.

Un secolo dopo le prime esplorazioni di Gauss, la sua legge fu dimostrata nel "teorema dei numeri primi". L'errore percentuale si avvicina a zero a intervalli di numeri primi sempre più grandi. L'ipotesi di Riemann un problema con un premio da un milione di dollari oggi, descrive anche quanto sia accurata la stima di Gauss.

Il teorema dei numeri primi e l'ipotesi di Riemann attirano l'attenzione e il denaro, ma entrambi hanno seguito prima, analisi dei dati meno glamour.

Primi misteri moderni

Oggi, i nostri set di dati provengono da programmi per computer piuttosto che da stencil tagliati a mano, ma i matematici stanno ancora trovando nuovi modelli nei numeri primi.

Tranne 2 e 5, tutti i numeri primi terminano con la cifra 1, 3, 7 o 9. Nel 1800, è stato dimostrato che queste eventuali ultime cifre sono ugualmente frequenti. In altre parole, se guardi i numeri primi fino a un milione, circa il 25% finisce in 1, il 25% finisce in 3, il 25% finisce in 7, e il 25% finisce in 9.

Alcuni anni fa, I teorici dei numeri di Stanford Lemke Oliver e Kannan Soundararajan sono stati colti alla sprovvista da stranezze nelle cifre finali dei numeri primi. Un esperimento ha esaminato l'ultima cifra di un numero primo, così come l'ultima cifra del primo successivo. Per esempio, il primo successivo dopo 23 è 29:si vede un 3 e poi un 9 nelle ultime cifre. Si vede 3 poi 9 più spesso di 3 poi 7, tra le ultime cifre dei numeri primi?

I teorici dei numeri si aspettavano qualche variazione, ma quello che hanno trovato ha superato di gran lunga le aspettative. I numeri primi sono separati da spazi diversi; Per esempio, 23 è distante sei numeri da 29. Ma i numeri primi 3 poi 9 come 23 e 29 sono molto più comuni dei numeri primi 7 poi 3, anche se entrambi provengono da un gap di sei.

I matematici trovarono presto una spiegazione plausibile. Ma, quando si tratta di studiare i numeri primi successivi, i matematici sono (per lo più) limitati all'analisi dei dati e alla persuasione. Le prove – il gold standard dei matematici per spiegare perché le cose sono vere – sembrano lontane decenni.

Questo articolo è stato originariamente pubblicato su The Conversation. Leggi l'articolo originale.