Supponi di dover fare la spesa e di avere un budget limitato. Vuoi comprare pasta e pane per un gruppo numeroso, ma non puoi spendere più di venti dollari. In teoria, potresti comprare solo pane e niente pasta, o molto pane e solo una confezione di pasta. Quante diverse combinazioni di scatole di pasta e pagnotte di pane potresti comprare? E come puoi ottenere il massimo da ciascuno per i tuoi soldi?

Problemi come questi sono chiamati disuguaglianze lineari: equazioni il cui grafico è una linea, ma invece di usare il segno di uguale, usano simboli di disuguaglianza come> o < .

TL; DR (troppo lungo; non letto)

Per risolvere una disuguaglianza lineare, devi trovare tutte le combinazioni di x
e e che rendono vera la disuguaglianza. Puoi risolvere le disuguaglianze lineari usando l'algebra o graficamente.

Per risolvere una disuguaglianza lineare (o qualsiasi equazione), devi trovare tutte le combinazioni di x
e y
che rendono vera questa equazione.

Puoi risolvere le disuguaglianze lineari algebricamente o puoi rappresentare le soluzioni su un grafico (o entrambi!). Esaminiamo insieme alcuni problemi di esempio.
Risolvere le disuguaglianze lineari algebricamente

Questo processo è quasi identico a risolvere un'equazione lineare, ma con un'eccezione chiave. Dai un'occhiata al problema qui sotto.

−4_x_ - 6> 12 - x

Per prima cosa, prendi tutti i x
-es sul stesso lato del segno "maggiore di". Aggiungi x
su entrambi i lati per annullare x
sul lato destro e avere solo x
a sinistra.

- 4_x_ (+ x
) - 6> 12 - x
(+ x
)

−3_x_ - 6> 12.

Ora aggiungine sei su entrambi i lati:

−3_x_ - 6 (+ 6)> 12 (+ 6)

−3_x_> 18.

Finora è stato esattamente come qualsiasi equazione lineare. Ma ora le cose stanno per cambiare! Quando dividi entrambi i lati di una disuguaglianza per un numero negativo, devi cambiare la direzione del simbolo di disuguaglianza.

Quindi per −3_x_> 18, divideremo entrambi i lati per −3, e quindi capovolgeremo il segno> in un

x
<−6
Disuguaglianze lineari del grafico

Che ne dici di rappresentare un grafico? Ancora una volta, il processo è molto simile alle equazioni lineari, ma c'è una differenza importante. Dato che devi indicare tutte le
delle combinazioni di x
e y
che rendono vera una disuguaglianza, disegnerai la linea come al solito e poi stai andando a sfumare nella sezione del grafico che ti fornisce il resto delle possibili soluzioni.

Ad esempio, come tratteresti la disuguaglianza y
<3_x_ + 6?

Innanzitutto, noterai che la disuguaglianza è in forma di intercetta pendenza, il che significa che possiamo usare y
-intercept e la pendenza per rappresentare rapidamente la linea.

Il y
-intercept è 6, quindi disegna un punto su (0, 6), quindi usa il fatto che la pendenza è 3 per salire di tre unità e un'unità a destra, quindi disegna un punto. Il tuo punto dovrebbe essere a (1, 9). Per rendere una linea pulita e carina, è bello ottenere tre punti, quindi disegna un altro punto iniziando da (1, 9) e salendo tre, sopra uno di nuovo. "You'll get a point at (2, 12).", 3, [[Ora disegna una linea collegando i punti.

Fantastico! Hai appena rappresentato l'uguaglianza y
\u003d 3_x_ + 6, ma ricorda che l'equazione originale è y
<3_x_ + 6. Usa questo semplice trucco per ombreggiare la parte corretta del grafico: quando il la disuguaglianza è in forma di intercetta pendenza, se hai y
<, allora ombra in tutto sotto la linea. Se hai y
>, ombreggia tutto sopra la linea.

Ma ricontrolla per accertarti! Quando si ombreggia in un'intera sezione del grafico, significa che uno di quei punti dovrebbe rendere vera l'equazione. Prendi un punto casuale che hai ombreggiato e collega x
e y
alla disuguaglianza originale. Se funziona, sei a posto. In caso contrario, è necessario ricontrollare la rappresentazione grafica e /o l'algebra.

Un'ultima cosa: quando hai> o <, la linea sul grafico deve essere punteggiata! Quando la disuguaglianza usa ≥ o ≤, la linea deve essere solida. Questo mostra se i punti sulla linea stessa sono inclusi o meno nella soluzione.
Risolvere i sistemi di disuguaglianze lineari

Risolvere un sistema di disuguaglianze lineari è molto simile alla risoluzione di sistemi di equazioni. La rappresentazione grafica è il modo più semplice per risolvere le disuguaglianze lineari.

Per rappresentare graficamente un sistema di disuguaglianze lineari, traccia la tua prima disuguaglianza come hai fatto sopra e ombreggia nelle aree sopra o sotto la linea. Quindi tracciare la seconda disuguaglianza. Ancora una volta, sfumerai in tutte le sezioni del grafico che rendono vera la disuguaglianza. Il più delle volte, ci sarà un'area sul grafico che hai ombreggiato due volte! Questa è la soluzione al sistema di disuguaglianze, perché è la sezione del grafico in cui entrambe le disuguaglianze sono vere.