Immagina di trovarti al centro di un'arena perfettamente circolare, guardando la folla attorno al bordo. Vedi un amico in un posto e un insegnante in un altro. Quanto sono distanti? Che angolo formano le linee di vista tra te e ciascuno di loro? A queste domande risponde il concetto di angolo centrale .

Un angolo centrale è l'angolo formato da due raggi tracciati dal centro del cerchio a due punti della sua circonferenza. I due raggi sono le linee di vista da te all'amico e all'insegnante. L'angolo tra loro è l'angolo al centro, l'angolo più vicino al centro del cerchio.

L'amico e l'insegnante si siedono sulla circonferenza del cerchio. Il percorso curvo lungo il bordo che li collega è chiamato arco .

Trovare l'angolo centrale dalla lunghezza dell'arco e dalla circonferenza

Se conosci la lunghezza dell'arco (la distanza che percorreresti lungo l'arena per andare dall'amico all'insegnante) e la circonferenza totale del cerchio, la relazione tra i due è:

lunghezza arco/circonferenza =angolo centrale/360°

La riorganizzazione dà:

angolo centrale =(lunghezza arco / circonferenza) × 360°

Questa proporzione funziona perché la frazione del perimetro del cerchio occupata dall'arco è esattamente la stessa frazione dell'intero angolo di 360°.

Trovare l'angolo centrale dalla lunghezza dell'arco e dal raggio

Quando il raggio r del cerchio è noto, puoi calcolare l'angolo al centro in radianti con:

θ =s/r

dove s è la lunghezza dell'arco. Il risultato θ è misurato in radianti. Se preferisci i gradi, moltiplica il valore in radianti per 57,2958 (o usa semplicemente il metodo della circonferenza sopra).

Puoi anche risolvere la lunghezza dell'arco:

s =θ × r

oppure per il raggio quando vengono forniti la lunghezza dell'arco e l'angolo al centro:

r =s / θ

Teorema dell'angolo centrale

Considera una terza persona, il tuo vicino, seduta sul lato opposto dell'arena. Dal punto di vista del vicino, le due linee di vista verso l’amico e l’insegnante formano un angolo inscritto (un angolo i cui vertici giacciono sulla circonferenza). Il Teorema dell'angolo centrale collega questo angolo inscritto all'angolo centrale che osservi:

∠AOC =2∠ABC

Qui i punti A e B sono l'amico e l'insegnante, C è il vicino e O è il centro. Il teorema vale quando il vicino si trova dalla stessa parte della corda AB dell'arco che non contiene gli altri punti.

Eccezione al Teorema dell'angolo centrale

Quando il punto C inscritto si sposta all'interno dell'arco minore tra A e B il rapporto cambia. L'angolo inscritto diventa il supplemento della metà dell'angolo al centro:

∠ABC =180° – (∠AOC / 2)

In altre parole, la somma dell'angolo inscritto e della metà dell'angolo al centro dà 180°.

Visualizza i concetti

Math Open Reference offre uno strumento interattivo che permette di trascinare il vicino attorno al cerchio e osservare come evolvono gli angoli centrali e inscritti in tempo reale. Provalo per una comprensione pratica della teoria.

DragonImages/iStock/GettyImages