Supponiamo di avere n tipi di elementi e di voler selezionare una collezione di r di essi. Potremmo volere questi articoli in un ordine particolare. Chiamiamo questi insiemi di permutazioni di oggetti. Se l'ordine non ha importanza, chiamiamo il set di combinazioni di collezioni. Per entrambe le combinazioni e le permutazioni, puoi considerare il caso in cui scegli alcuni dei n tipi più di una volta, che è chiamato 'con ripetizione', o il caso in cui scegli ogni tipo una sola volta, che si chiama 'no ripetizione '. L'obiettivo è essere in grado di contare il numero di combinazioni o permutazioni possibili in una determinata situazione.

Ordini e fattoriali

La funzione fattoriale viene spesso utilizzata per il calcolo di combinazioni e permutazioni. N! significa N × (N-1) × ... × 2 × 1. Ad esempio, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Il numero di modi per ordinare un insieme di elementi è un fattoriale. Prendi le tre lettere a, bec e. Hai tre scelte per la prima lettera, due per la seconda e una sola per la terza. In altre parole, un totale di 3 × 2 × 1 = 6 ordini. In generale, ci sono n! modi per ordinare n elementi.

Permutazioni con ripetizione

Supponiamo di avere tre stanze che dipingete, e ognuna dipinta su cinque colori: rosso (r), verde ( g), blu (b), giallo (y) o arancione (o). Puoi scegliere ogni colore tutte le volte che vuoi. Hai cinque colori tra cui scegliere per la prima stanza, cinque per la seconda e cinque per la terza. Questo dà un totale di 5 × 5 × 5 = 125 possibilità. In generale, il numero di modi per scegliere un gruppo di elementi r in un ordine particolare da n scelte ripetibili è n ^ r.

Permutazioni senza ripetizione

Ora supponiamo che ogni stanza sarà un colore diverso Puoi scegliere tra cinque colori per la prima stanza, quattro per la seconda e solo tre per la terza. Questo dà 5 × 4 × 3 = 60, che è appena 5! /2 !. In generale, il numero di modi indipendenti per selezionare le voci r in un particolare ordine da n scelte non irrilevanti è n! /(N-r).

Combinazioni senza ripetizione

Successivamente, dimenticare di quale stanza è quale colore? Basta scegliere tre colori indipendenti per la combinazione di colori. L'ordine non importa qui, quindi (rosso, verde, blu) è lo stesso di (rosso, blu, verde). Per ogni scelta di tre colori ce ne sono 3! modi in cui puoi ordinarli Quindi riduci il numero di permutazioni di 3! per ottenere 5! /(2! × 3!) = 10. In generale, puoi scegliere un gruppo di elementi r in qualsiasi ordine da una selezione di n scelte non irripetibili in n! /[(n-r)! × r! ] modi.

Combinazioni con la ripetizione

Infine, è necessario creare una combinazione di colori in cui sia possibile utilizzare qualsiasi colore tutte le volte che si desidera. Un intelligente codice di contabilità aiuta questo compito di conteggio. Usa tre X per rappresentare le stanze. La tua lista di colori è rappresentata da 'rgbyo'. Mescola le X nella tua lista dei colori e associa ciascuna X con il primo colore alla sua sinistra. Ad esempio, rgXXbyXo significa che la prima stanza è verde, la seconda è verde e la terza è gialla. Una X deve avere almeno un colore a sinistra, quindi ci sono cinque slot disponibili per la prima X. Poiché l'elenco ora include una X, ci sono sei slot disponibili per la seconda X e sette slot disponibili per la terza X. tutto, ci sono 5 × 6 × 7 = 7! /4! modi per scrivere il codice. Tuttavia, l'ordine delle stanze è arbitrario, quindi ci sono solo 7! /(4! × 3!) Arrangiamenti unici. In generale, puoi scegliere le voci r in qualsiasi ordine da n scelte ripetibili in (n + r-1)! /[(N-1)! × r!] Modi.