Alcune funzioni sono continue dall'infinito negativo all'infinito positivo, ma altre si interrompono in un punto di discontinuità o si disattivano e non superano mai un certo punto. Asintoti verticali e orizzontali sono linee rette che definiscono il valore che la funzione si avvicina se non si estende all'infinito in direzioni opposte. Gli asintoti orizzontali sono sempre nella forma y = C, e gli asintoti verticali sono sempre nella forma x = C, dove C è qualsiasi costante. Sia asintoti orizzontali che verticali sono facili da trovare.

Asymptotes verticali

Scrivi la funzione per la quale stai cercando di trovare un asintoto verticale. Molto probabilmente saranno funzioni razionali, con la variabile x da qualche parte nel denominatore. Quando il denominatore di una funzione razionale si avvicina a zero, ha un asintoto verticale.

Trova il valore di x che rende il denominatore uguale a zero. Se la tua funzione è y = 1 /(x + 2), risolverai l'equazione x + 2 = 0, che è x = -2. Potrebbe esserci più di una soluzione possibile per funzioni più complesse.

Prendi il limite della funzione quando x si avvicina al valore che hai trovato da entrambe le direzioni. Per questo esempio, quando x si avvicina a -2 da sinistra, y si avvicina all'infinito negativo; quando -2 viene avvicinato da destra, y si avvicina all'infinito positivo. Ciò significa che il grafico della funzione si divide alla discontinuità, passando dall'infinito negativo all'infinito positivo. Esegui questa operazione singolarmente per ogni valore se nel passaggio precedente sono state trovate più soluzioni.

Scrivi le equazioni degli asintoti impostando x uguale a ciascuno dei valori utilizzati nei limiti. Per questo esempio, c'è solo un asintoto, che è dato dall'equazione x = -2.

Asymptotes orizzontali

Scrivi la tua funzione. Asintoti orizzontali possono essere trovati in un'ampia varietà di funzioni. Per questo esempio, la funzione è y = x /(x-1).

Prendi il limite della funzione quando x si avvicina all'infinito. In questo esempio, il "1" può essere ignorato perché diventa insignificante quando x si avvicina all'infinito. L'infinito meno 1 è ancora l'infinito. Quindi, la funzione diventa x /x, che equivale a 1. Pertanto, il limite come x si avvicina all'infinito di x /(x-1) = 1.

Usa la soluzione del limite per scrivere l'equazione del tuo asintoto. Se la soluzione è un valore fisso, esiste un asintoto orizzontale, ma se la soluzione è infinita, non esiste un asintoto orizzontale. Se la soluzione è un'altra funzione, esiste un asintoto, ma non è né orizzontale né verticale. Per questo esempio, l'asintoto orizzontale è y = 1.

Suggerimento

Le funzioni trigonometriche che hanno asintoti possono essere risolte allo stesso modo, usando i vari limiti. Renditi conto che le funzioni trigonometriche sono cicliche e possono avere molti asintoti.