Di Chirantan Basu | Aggiornato il 30 agosto 2022
L'equazione di un piano nello spazio tridimensionale può essere espressa come ax + by + cz = d , dove almeno una delle costanti a , b o c è diverso da zero. Quando si conoscono tre punti, il piano può essere ricavato utilizzando i prodotti incrociati vettoriali, una tecnica geometrica affidabile che garantisce una soluzione esatta.
Etichetta i punti A, B e C. A scopo illustrativo, sia A = (3, 1, 1), B = (1, 4, 2) e C = (1, 3, 4).
Scegli due vettori qualsiasi che giacciono sul piano. Una scelta conveniente è AB e AC :
AB = B – A = (1–3, 4–1, 2–1) = (–2, 3, 1)AC = C – A = (1–3, 3–1, 4–1) = (–2, 2, 3)
Il prodotto incrociato di AB e AC restituisce un vettore normale al piano:
AB × AC = (a₂b₃ – a₃b₂, a₃b₁ – a₁b₃, a₁b₂ – a₂b₁)
Sostituendo le coordinate si ottiene:
AB × AC = (3·3 – 1·2, 1·(–2) – (–2)·3, (–2)·2 – 3·(–2)) = (7, 4, 2)
Pertanto, il vettore normale N è (7, 4, 2) .
Utilizzando il punto C (o qualsiasi punto noto) e il vettore normale, l'equazione del piano è:
7(x – 1) + 4(y – 3) + 2(z – 4) = 0
L'espansione e la semplificazione producono la forma standard:
7x + 4y + 2z = 27
Sostituisci ciascuno dei punti originali nell'equazione per confermare che la soddisfano. Tutti e tre i punti soddisfano 7x + 4y + 2z = 27 , validando il calcolo.
Utilizza i prodotti incrociati vettoriali per trovare il vettore normale di un piano, quindi collega qualsiasi punto alla forma del prodotto scalare per ottenere l'equazione del piano.
