Credito immagine:diego_cervo/iStock/GettyImages
La trigonometria può sembrare astratta, ma il cerchio unitario trasforma questi misteri in geometria concreta. Posizionando un cerchio di raggio 1 all'origine di un sistema di coordinate, ogni valore trigonometrico diventa semplicemente la coordinata x o y di un punto.
Il cerchio unitario ha raggio 1. Gli angoli vengono misurati dal punto (1,0) sull'asse x positivo e aumentano in senso antiorario. Per qualsiasi angoloθ:
Un cerchio unitario è semplicemente un cerchio il cui raggio è esattamente una unità. Quell'unità può essere metri, piedi, pollici:qualsiasi misura; la chiave è che il raggio è 1. Per questo motivo, la circonferenza e l'area del cerchio diventano semplici multipli di π e molte formule trigonometriche si riducono a numeri puri.
Posiziona il cerchio in modo che il suo centro coincida con l'origine di un piano cartesiano. Il cerchio interseca l'asse x positivo in (1,0). Per convenzione, iniziamo a misurare gli angoli da quel punto e ci muoviamo in senso antiorario. Pertanto, il punto (1,0) corrisponde a 0°, (0,1) a 90°, (‑1,0) a 180° e (0,‑1) a 270° (o –90°).
Nei corsi elementari, sin, cos e tan vengono introdotti attraverso i triangoli rettangoli:
\(\sin\theta =\frac{\text{opposto}}{\text{ipotenusa}}\)
\(\cos\theta =\frac{\text{adiacente}}{\text{ipotenusa}}\)
\(\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
Sulla circonferenza unitaria l'ipotenusa è sempre 1, quindi le equazioni si semplificano in:
\(\sin\theta =\text{opposto}\)
\(\cos\theta =\text{adiacente}\)
Se disegniamo un raggio che forma un angolo θ con l'asse x positivo, il lato “opposto” è la coordinata y e il lato “adiacente” è la coordinata x del punto in cui il raggio incontra il cerchio. Di conseguenza, sinθ è la coordinata y e cosθ è la coordinata x. Questo spiega perché sin0°=0 e cos0°=1, oppure sin90°=1 e cos90°=0.
Gli angoli negativi vengono gestiti in modo naturale:una rotazione in senso orario dal punto iniziale condivide la stessa coordinata x dell'angolo positivo corrispondente ma inverte il segno della coordinata y. Quindi:
\(\cos(-\theta) =\cos\theta\)
\(\sin(-\theta) =-\sin\theta\)
Utilizzando le definizioni del cerchio di seno e coseno, l'abbronzatura si semplifica nel rapporto tra la coordinata y e la coordinata x:
\(\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta} =\frac{y}{x}\)
Questa forma chiarisce perché l'abbronzatura è indefinita a 90° (o 270°), dove x=0, perché la divisione per zero è impossibile.
Quando visualizzi il cerchio unitario, la coordinata x varia gradualmente da 1 a –1 mentre ti sposti da 0° a 180°, quindi torna indietro fino a 1 di 360°. La funzione seno segue lo stesso schema ma raggiunge prima il suo picco di 1 a 90°. Pertanto, sin e cos sono sfasati di 90°. La tangente, essendo il rapporto y/x, ha asintoti verticali dove x=0, producendo il familiare schema ripetuto con punti indefiniti a multipli dispari di 90°.
