Di Jacob Reis | Aggiornato il 30 agosto 2022
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In matematica, i termini limitati e illimitato appaiono in vari sottocampi. Comprendere i loro significati precisi aiuta a evitare confusione, soprattutto quando vengono applicati a funzioni, operatori e insiemi.
Una funzione limitata è uno il cui intervallo è compreso tra due limiti finiti. In un grafico, ciò significa che i valori della funzione possono essere intrappolati da due linee orizzontali. Ad esempio, la funzione seno oscilla tra –1 e 1, quindi è limitata. Matematicamente, una funzione f definita su un insieme X (con valori reali o complessi) è limitata se esiste M> 0 tale che |f(x)| ≤ M per ogni x ∈ X.
Al contrario, una funzione illimitata non ha limiti superiori o inferiori così finiti; i suoi valori possono diventare arbitrariamente grandi (o piccoli). Funzioni come f(x) = 1/x (definita per x ≠ 0) o f(x) = x² non hanno limiti nei rispettivi domini.
Nell'analisi funzionale, gli operatori agire sugli elementi di uno spazio vettoriale. Un operatore A è chiamato limitato se esiste una costante C tale che ‖A(x)‖ ≤ C‖x‖ per ogni x nel suo dominio. Se tale costante non esiste, l'operatore è illimitato . Secondo l'Enciclopedia della matematica , un operatore illimitato associa un insieme limitato nel suo dominio a un insieme illimitato nel suo codominio.
Un insieme di numeri è limitato quando ha sia un limite finito superiore che uno inferiore. Esempi classici includono l'intervallo [2, 401) e la sequenza {1,½,⅓,¼,…}. Un illimitato set manca di almeno uno di questi limiti finiti; ad esempio, l'insieme di tutti gli interi positivi ℕ è illimitato perché non ha un limite superiore finito.
