Comprendere le sequenze geometriche

In una sequenza geometrica ciascun termine si ottiene moltiplicando il termine precedente per una costante, detta rapporto comune (r). La sequenza può essere finita o infinita e i valori possono crescere, ridursi o oscillare a seconda di r.

TL;DR

Una sequenza geometrica è una lista ordinata in cui ogni termine è uguale al termine precedente moltiplicato per un rapporto comune diverso da zero. Se |r|<1 i termini convergono a zero; se |r|>1 divergono all'infinito.

Definizione e formule

La sequenza inizia con un termine iniziale a ed è espressa come:a, ar, ar2, ar3, …, arS-1 . L'ennesimo termine è dato da:an = a·rn-1 . Una forma ricorsiva è an = r·an-1 .

Esempio:a=3, r=2, S=8 → 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. L'ottavo termine è a8 = 3·27 = 384 .

Proprietà chiave

• Ogni termine interno è la media geometrica dei suoi vicini.
• Quando r>1, una sequenza infinita diverge a +∞.
• Quando 0
• Quando –1
• Quando r<–1, la sequenza alterna segni e diverge fino a ±∞.

Applicazioni del mondo reale

Le sequenze geometriche modellano la crescita o il decadimento esponenziale, come:

• Crescita della popolazione o decadimento radioattivo.
• Interesse composto nella finanza.
• Attenuazione del segnale in ingegneria.

Una previsione accurata in questi ambiti si basa su formule generali e ricorsive, che consentono previsioni a partire da un singolo termine noto e dal rapporto comune.

Per una trattazione matematica approfondita, fare riferimento a Introductory Mathematical Sequences di J. Smith, 2020.