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    Come trovare un'equazione esponenziale con due punti

    Se conosci due punti che cadono su una particolare curva esponenziale, puoi definire la curva risolvendo la funzione esponenziale generale usando quei punti. In pratica, questo significa sostituire i punti per ye x nell'equazione y = ab x. La procedura è più semplice se il valore x per uno dei punti è 0, il che significa che il punto si trova sull'asse y. Se nessuno dei due punti ha un valore x zero, il processo per risolvere xey è un po 'più complicato.

    Perché le funzioni esponenziali sono importanti

    Molti sistemi importanti seguono schemi esponenziali di crescita e decadimento. Ad esempio, il numero di batteri in una colonia di solito aumenta in modo esponenziale e la radiazione ambientale nell'atmosfera a seguito di un evento nucleare di solito diminuisce esponenzialmente. Prendendo dati e tracciando una curva, gli scienziati sono in una posizione migliore per fare previsioni.

    Da una coppia di punti a un grafico

    Qualsiasi punto su un grafico bidimensionale può essere rappresentato da due numeri, che di solito sono scritti nella forma (x, y), dove x definisce la distanza orizzontale dall'origine e y rappresenta la distanza verticale. Ad esempio, il punto (2, 3) è due unità a destra dell'asse ye tre unità sopra l'asse x. D'altra parte, il punto (-2, -3) è due unità a sinistra dell'asse y. e tre unità sotto l'asse x.

    Se hai due punti, (x 1, y 1) e (x 2, y 2), tu può definire la funzione esponenziale che passa attraverso questi punti sostituendoli nell'equazione y = ab x e risolvendo per a e b. In generale, devi risolvere questa coppia di equazioni:

    y 1 = ab x1 e y 2 = ab x2,.

    In questa forma, la matematica sembra un po 'complicata, ma sembra meno dopo aver fatto alcuni esempi.

    Un punto sull'asse X

    Se uno dei valori x - - diciamo x 1 - è 0, l'operazione diventa molto semplice. Ad esempio, risolvendo l'equazione per i rendimenti dei punti (0, 2) e (2, 4):

    2 = ab 0 e 4 = ab 2. Poiché sappiamo che b 0 = 1, la prima equazione diventa 2 = a. Sostituendo a nella seconda equazione si ottiene 4 = 2b 2, che si semplifica in b 2 = 2, o b = radice quadrata di 2, che equivale a circa 1,41. La funzione di definizione è quindi y = 2 (1.41) x.

    Nessun punto sull'asse X

    Se nessuno dei due valori x è zero, risolvere la coppia di equazioni è leggermente più ingombrante. Henochmath ci guida attraverso un semplice esempio per chiarire questa procedura. Nel suo esempio, ha scelto la coppia di punti (2, 3) e (4, 27). Questo produce la seguente coppia di equazioni:

    27 = ab 4

    3 = ab 2

    Se dividi la prima equazione per il secondo, ottieni

    9 = b 2

    così b = 3. È possibile che b sia anche uguale a -3, ma in questo caso, supponiamo che sia positivo.

    È possibile sostituire questo valore per b in entrambe le equazioni per ottenere a. È più semplice utilizzare la seconda equazione, quindi:

    3 = a (3) 2 che può essere semplificato in 3 = a9, a = 3/9 o 1/3.

    L'equazione che passa attraverso questi punti può essere scritta come y = 1/3 (3) x.

    Un esempio dal mondo reale

    Dal 1910, la crescita della popolazione umana ha sono stati esponenziali e, tracciando una curva di crescita, gli scienziati sono in una posizione migliore per prevedere e pianificare il futuro. Nel 1910, la popolazione mondiale era di 1,75 miliardi e nel 2010 era di 6,87 miliardi. Prendendo come punto di partenza il 1910, questo fornisce la coppia di punti (0, 1.75) e (100, 6.87). Poiché il valore x del primo punto è zero, possiamo facilmente trovare a.

    1.75 = ab 0 o a = 1.75. Il collegamento di questo valore, insieme a quelli del secondo punto, nell'equazione esponenziale generale produce 6.87 = 1.75b 100, che fornisce il valore di b come centesima radice di 6.87 /1.75 o 3.93. Quindi l'equazione diventa y = 1,75 (centesima radice di 3,93) x. Sebbene per farlo occorra più di una regola di diapositive, gli scienziati possono usare questa equazione per proiettare numeri di popolazione futuri per aiutare i politici nel presente a creare politiche appropriate.

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