Se conosci due punti che cadono su una particolare curva esponenziale, puoi definire la curva risolvendo la funzione esponenziale generale usando quei punti. In pratica, questo significa sostituire i punti per ye x nell'equazione y = ab ^{x. La procedura è più semplice se il valore x per uno dei punti è 0, il che significa che il punto si trova sull'asse y. Se nessuno dei due punti ha un valore x zero, il processo per risolvere xey è un po 'più complicato.}

Perché le funzioni esponenziali sono importanti

Molti sistemi importanti seguono schemi esponenziali di crescita e decadimento. Ad esempio, il numero di batteri in una colonia di solito aumenta in modo esponenziale e la radiazione ambientale nell'atmosfera a seguito di un evento nucleare di solito diminuisce esponenzialmente. Prendendo dati e tracciando una curva, gli scienziati sono in una posizione migliore per fare previsioni.

Da una coppia di punti a un grafico

Qualsiasi punto su un grafico bidimensionale può essere rappresentato da due numeri, che di solito sono scritti nella forma (x, y), dove x definisce la distanza orizzontale dall'origine e y rappresenta la distanza verticale. Ad esempio, il punto (2, 3) è due unità a destra dell'asse ye tre unità sopra l'asse x. D'altra parte, il punto (-2, -3) è due unità a sinistra dell'asse y. e tre unità sotto l'asse x.

Se hai due punti, (x _{1, y 1) e (x 2, y 2), tu può definire la funzione esponenziale che passa attraverso questi punti sostituendoli nell'equazione y = ab ^{x e risolvendo per a e b. In generale, devi risolvere questa coppia di equazioni:}}

y _{1 = ab ^{x1 e y 2 = ab x2,.}}

In questa forma, la matematica sembra un po 'complicata, ma sembra meno dopo aver fatto alcuni esempi.

Un punto sull'asse X

Se uno dei valori x - - diciamo x _{1 - è 0, l'operazione diventa molto semplice. Ad esempio, risolvendo l'equazione per i rendimenti dei punti (0, 2) e (2, 4):}

2 = ab ^{0 e 4 = ab 2. Poiché sappiamo che b 0 = 1, la prima equazione diventa 2 = a. Sostituendo a nella seconda equazione si ottiene 4 = 2b 2, che si semplifica in b 2 = 2, o b = radice quadrata di 2, che equivale a circa 1,41. La funzione di definizione è quindi y = 2 (1.41) x.}

Nessun punto sull'asse X

Se nessuno dei due valori x è zero, risolvere la coppia di equazioni è leggermente più ingombrante. Henochmath ci guida attraverso un semplice esempio per chiarire questa procedura. Nel suo esempio, ha scelto la coppia di punti (2, 3) e (4, 27). Questo produce la seguente coppia di equazioni:

27 = ab ⁴

3 = ab ²

Se dividi la prima equazione per il secondo, ottieni

9 = b ²

così b = 3. È possibile che b sia anche uguale a -3, ma in questo caso, supponiamo che sia positivo.

È possibile sostituire questo valore per b in entrambe le equazioni per ottenere a. È più semplice utilizzare la seconda equazione, quindi:

3 = a (3) ^{2 che può essere semplificato in 3 = a9, a = 3/9 o 1/3.}

L'equazione che passa attraverso questi punti può essere scritta come y = 1/3 (3) ^x.

Un esempio dal mondo reale

Dal 1910, la crescita della popolazione umana ha sono stati esponenziali e, tracciando una curva di crescita, gli scienziati sono in una posizione migliore per prevedere e pianificare il futuro. Nel 1910, la popolazione mondiale era di 1,75 miliardi e nel 2010 era di 6,87 miliardi. Prendendo come punto di partenza il 1910, questo fornisce la coppia di punti (0, 1.75) e (100, 6.87). Poiché il valore x del primo punto è zero, possiamo facilmente trovare a.

1.75 = ab ^{0 o a = 1.75. Il collegamento di questo valore, insieme a quelli del secondo punto, nell'equazione esponenziale generale produce 6.87 = 1.75b 100, che fornisce il valore di b come centesima radice di 6.87 /1.75 o 3.93. Quindi l'equazione diventa y = 1,75 (centesima radice di 3,93) x. Sebbene per farlo occorra più di una regola di diapositive, gli scienziati possono usare questa equazione per proiettare numeri di popolazione futuri per aiutare i politici nel presente a creare politiche appropriate.}