Un matematico della RUDN University ha dimostrato che non esistono soluzioni alle disuguaglianze differenziali funzionali associate alle equazioni di tipo Kardar-Parisi-Zhang (KPZ), equazioni alle derivate parziali stocastiche non lineari che sorgono quando si descrive la crescita superficiale. Le condizioni ottenute per l'assenza di soluzioni aiuteranno negli studi sulla crescita dei polimeri, la teoria delle reti neurali, e reazioni chimiche. L'articolo è stato pubblicato su Variabili complesse ed equazioni ellittiche .

La principale difficoltà con le equazioni differenziali alle derivate parziali non lineari è che molte di esse non sono risolte esattamente. Per scopi pratici, tali equazioni sono risolte numericamente, e le questioni dell'esistenza e dell'unicità delle loro soluzioni diventano problemi su cui gli scienziati si battono da decenni, e talvolta secoli. Uno di questi problemi, l'esistenza e l'uniformità di Navier-Stokes, è stato incluso nella famosa lista dei problemi del Millennium Prize:il Clay Mathematical Institute negli Stati Uniti offre un premio di $ 1 milione per la risoluzione di uno di questi problemi.

Qualsiasi equazione differenziale parziale è definita in una certa area, per esempio., su un piano o in una sfera, o nello spazio. Generalmente, è possibile trovare una soluzione a tali equazioni in un piccolo intorno di un punto, cioè., una soluzione locale. Ma potrebbe rimanere poco chiaro se esiste una soluzione globale per l'intera area e come trovarla.

Un altro problema delle equazioni alle derivate parziali non lineari è che le loro soluzioni possono "esplodere, " questo è, improvvisamente iniziano a tendere all'infinito su intervalli di tempo finiti. Se questo accade, significa che non esiste una soluzione generale. E viceversa, se non esiste una soluzione generale, significa che qualsiasi soluzione locale trovata deve anche "esplodere" da qualche parte. Perciò, è importante cercare condizioni in cui non esiste una soluzione generale.

I matematici usano le disuguaglianze differenziali nei loro tentativi di affrontare questo problema. L'essenza del metodo è che è possibile ottenere disuguaglianze non strette che saranno "più forti" dell'equazione originale dall'equazione differenziale parziale originale. Quindi, se una funzione non soddisfa queste disuguaglianze, non è sicuramente una soluzione generale dell'equazione originale.

Il matematico del RUDN University Mathematical Institute Andrei Muravnik ha utilizzato il metodo delle disuguaglianze. Ha generalizzato i teoremi esistenti al caso quasilineare che si presenta nello studio delle equazioni di tipo KPZ. Le condizioni ottenute non solo limitano l'insieme delle possibili soluzioni alle equazioni di tipo KPZ, ma sono anche necessarie per la risolvibilità dei problemi che si presentano nella pratica. In particolare, questi risultati aiutano a risolvere i problemi di crescita superficiale quando si modella il comportamento dei polimeri, e può essere utilizzato anche nella teoria delle reti neurali.

Il metodo della disuguaglianza prevede teoricamente il comportamento discontinuo dei sistemi fisici descritti dalle equazioni di tipo KPZ. Ciò consentirà di trarre conclusioni sulle proprietà fisiche di questi sistemi. Anche, questo metodo può aiutare con i problemi di estendibilità delle soluzioni locali. Tali metodi diventano necessari quando i metodi computazionali non sono più sufficienti. Problemi simili sorgono nella teoria dei flussi di traffico, reazioni chimiche con diffusione, così come nella modellazione delle transizioni di fase.

Negli ultimi anni, la teoria che non ci sono soluzioni generali ai problemi non lineari è stata sviluppata ulteriormente. Un articolo di Andrei Muravnik continua questa tendenza. Le condizioni per l'inesistenza di soluzioni sono interessanti non solo da un punto di vista teorico, ma anche perché aiuteranno gli scienziati a studiare una moltitudine di problemi applicati. Nel futuro prossimo, i risultati della matematica dell'Università RUDN possono trovare molte applicazioni nella fisica matematica applicata.