E se gli ingegneri potessero progettare un jet migliore con equazioni matematiche che riducono drasticamente la necessità di test sperimentali? O se i modelli di previsione del tempo potessero prevedere i dettagli del movimento del calore dall'oceano in un uragano? Queste cose sono impossibili ora, ma potrebbe essere possibile in futuro con una comprensione matematica più completa delle leggi della turbolenza.

I matematici dell'Università del Maryland Jacob Bedrossian, Samuel Punshon-Smith e Alex Blumenthal hanno sviluppato la prima dimostrazione matematica rigorosa che spiega una legge fondamentale della turbolenza. La dimostrazione della legge di Batchelor sarà presentata in una riunione della Society for Industrial and Applied Mathematics il 12 dicembre, 2019.

Sebbene tutte le leggi della fisica possano essere descritte usando equazioni matematiche, molti non sono supportati da prove matematiche dettagliate che ne spieghino i principi alla base. Un'area della fisica che è stata considerata troppo difficile da spiegare con una matematica rigorosa è la turbolenza. Visto nel surf dell'oceano, nuvole fluttuanti e la scia dietro un veicolo in corsa, la turbolenza è il movimento caotico dei fluidi (inclusi aria e acqua) che include cambiamenti apparentemente casuali di pressione e velocità.

La turbolenza è la ragione per cui le equazioni di Navier-Stokes, che descrivono come scorrono i fluidi, sono così difficili da risolvere che c'è una ricompensa di un milione di dollari per chiunque possa provarli matematicamente. Per comprendere il flusso del fluido, gli scienziati devono prima capire la turbolenza.

"Dovrebbe essere possibile guardare un sistema fisico e capire matematicamente se una data legge fisica è vera, " disse Jacob Bedrossian, un professore di matematica all'UMD e coautore della dimostrazione. "Crediamo che la nostra prova fornisca le basi per capire perché la legge di Batchelor, una legge fondamentale della turbolenza, è vero in un modo che nessun lavoro di fisica teorica ha fatto finora. Questo lavoro potrebbe aiutare a chiarire alcune delle variazioni osservate negli esperimenti di turbolenza e prevedere le impostazioni in cui si applica la legge di Batchelor e dove non si applica".

Dalla sua introduzione nel 1959, i fisici hanno discusso la validità e la portata della legge di Batchelor, che aiuta a spiegare come le concentrazioni chimiche e le variazioni di temperatura si distribuiscono in un fluido. Per esempio, mescolare la panna nel caffè crea un grande vortice con piccoli vortici che si diramano da esso e anche quelli più piccoli che si diramano da quelli. Mentre la crema si mescola, i vortici si rimpiccioliscono e il livello di dettaglio cambia ad ogni scala. La legge di Batchelor prevede i dettagli di quei vortici su scale diverse.

La legge ha un ruolo in cose come le sostanze chimiche che si mescolano in una soluzione, l'acqua del fiume si fonde con l'acqua salata mentre scorre nell'oceano e l'acqua calda del Gulfstream si combina con l'acqua più fredda mentre scorre verso nord. Negli anni, molti importanti contributi sono stati fatti per aiutare a comprendere questa legge, compreso il lavoro all'UMD dei professori universitari Thomas Antonsen e Edward Ott. Però, una dimostrazione matematica completa della legge di Batchelor è rimasta sfuggente.

"Prima del lavoro del professor Bedrossian e dei suoi coautori, La legge di Batchelor era una congettura, " ha detto Vladimir Sverak, un professore di matematica all'Università del Minnesota che non era coinvolto nel lavoro. "La congettura è stata supportata da alcuni dati provenienti da esperimenti, e si potrebbe speculare sul motivo per cui tale legge dovrebbe reggere. Una dimostrazione matematica della legge può essere considerata come un controllo di coerenza ideale. Ci dà anche una migliore comprensione di ciò che sta realmente accadendo nel fluido, e questo può portare a ulteriori progressi".

"Non eravamo sicuri che fosse possibile farlo, "disse Bedrossian, che ha anche un incarico congiunto nel Centro di calcolo scientifico e modelli matematici dell'UMD. "Si pensava che le leggi universali della turbolenza fossero troppo complesse per essere affrontate matematicamente. Ma siamo stati in grado di risolvere il problema combinando le competenze di più campi".

Esperto in equazioni differenziali alle derivate parziali, Bedrossian ha portato due ricercatori post-dottorato UMD esperti in altre tre aree per aiutarlo a risolvere il problema. Samuel Punshon-Smith (Ph.D. '17, matematica applicata e statistica, e calcolo scientifico), ora il Prager Assistant Professor alla Brown University, è un esperto di probabilità. Alex Blumenthal è un esperto di sistemi dinamici e teoria ergodica, una branca della matematica che include quella che è comunemente nota come teoria del caos. Il team ha rappresentato quattro aree distinte di competenza matematica che raramente interagiscono a questo livello. Tutto era essenziale per risolvere il problema.

"Il modo in cui è stato affrontato il problema è davvero creativo e innovativo, Sverak ha detto. "A volte il metodo di prova può essere anche più importante della prova stessa. È probabile che le idee tratte dagli articoli del professor Bedrossian e dei suoi coautori saranno molto utili nella ricerca futura".

Il nuovo livello di collaborazione che il team ha portato a questo problema pone le basi per lo sviluppo di dimostrazioni matematiche per spiegare altre leggi di turbolenza non dimostrate.

"Se questa prova è tutto ciò che otteniamo, Penso che abbiamo realizzato qualcosa, "Bedrossian ha detto. "Ma sono fiducioso che questo sia un riscaldamento e che questo apra la porta a dire 'Sì, possiamo provare leggi universali di turbolenza e non sono al di là del regno della matematica.' Ora che siamo dotati di una comprensione molto più chiara di come usare la matematica per studiare queste domande, stiamo lavorando per costruire gli strumenti matematici necessari per studiare più di queste leggi."

Comprendere i principi fisici alla base di più leggi di turbolenza potrebbe eventualmente aiutare ingegneri e fisici nella progettazione di veicoli migliori, turbine eoliche e tecnologie simili o nel fare migliori previsioni meteorologiche e climatiche.