Un matematico dell'Università RUDN ha trovato un nuovo criterio per la regolarità delle soluzioni generalizzate delle equazioni dell'idrodinamica magnetica per un fluido incomprimibile nello spazio tridimensionale. L'uso di questo criterio semplifica la ricerca di soluzioni a tali equazioni e può aiutare i metallurgisti a modellare il comportamento del metallo fuso, così come gli astrofisici per descrivere il plasma stellare. L'articolo è stato pubblicato su Journal of Mathematical Analysis and Applications .

Il sistema di equazioni della magnetoidrodinamica descrive il comportamento di qualsiasi liquido elettricamente conduttivo (metallo fuso, elettroliti) o plasma in presenza di un campo magnetico, e consiste di due equazioni differenziali che mettono in relazione il campo magnetico con il campo di velocità. Le soluzioni a questi sistemi possono essere divise in due tipologie:classiche e generalizzate (soluzioni alle quali non è imposta la condizione di differenziabilità). A differenza delle soluzioni classiche, quelli generalizzati richiedono di essere controllati per la regolarità (uniformità). I matematici eseguono tale verifica utilizzando i criteri di regolarità.

Maria Alessandra Ragusa della RUDN University ei suoi colleghi hanno scoperto che le equazioni del sistema possono essere ridotte a una coppia di equazioni di forma simile. Se scambi le incognite, la prima equazione diventa la seconda, e viceversa. Questo risultato può essere ottenuto utilizzando la trasposizione di variabili. Una combinazione dei campi desiderati viene scelta come nuove variabili:la loro somma e differenza. Il sistema diventa simmetrico rispetto alle sue nuove incognite. Ciò significa che le variabili possono essere scambiate senza modificare la soluzione. Questo approccio semplifica la ricerca della risposta:invece di due diverse equazioni, una coppia di identici è risolta.

Il professor Ragusa ha sviluppato un criterio di regolarità per soluzioni generalizzate al nuovo sistema. Si esprime in derivate parziali delle combinazioni (somma e differenza) del campo di velocità e del campo magnetico. Il criterio è costituito da due condizioni uguali:affinché la soluzione abbia la proprietà di regolarità, è sufficiente che almeno uno di essi sia soddisfatto. Dopo che le soluzioni al nuovo sistema sono state trovate e verificate per la regolarità, il passaggio dalle nuove coordinate ai campi desiderati diventa facile.

Il criterio afferma che le soluzioni sono lisce se il prodotto scalare delle derivate parziali di queste soluzioni appartiene allo spazio di Lebesgue con la condizione data.

Nel dimostrare la validità del criterio, La professoressa Ragusa e i suoi colleghi si sono affidati al Ni, Guo, e criterio di Zhou. Utilizzando stime integrali, è riuscita a dimostrare che dalla condizione per l'adempimento del suo criterio, il compimento del Ni, Guo, e criterio di Zhou, che è già stato dimostrato, segue rigorosamente, il che significa che la soluzione è regolare.

Il criterio trovato da Ragusa e dai suoi colleghi è importante perché solo soluzioni regolari (lisce) sono adatte a descrivere i processi fisici. Solo loro descrivono correttamente il comportamento del fluido o del plasma indagato.

L'utilizzo di questo criterio faciliterà il lavoro dei metallurgisti che hanno bisogno di simulare il comportamento del metallo fuso:molte operazioni nella fusione dei metalli vengono effettuate esponendo il metallo liquido ad un campo magnetico alternato. Per una descrizione accurata di tali processi, è necessario cercare soluzioni lisce ai sistemi di equazioni dell'idrodinamica magnetica. plasma stellare, che può essere considerato come un mezzo continuo, è anche governato dalle equazioni dell'idrodinamica magnetica. Nuove soluzioni ai sistemi di queste equazioni consentiranno agli astrofisici di saperne di più sul comportamento del plasma all'interno delle stelle.