Immagina di posizionare un altoparlante in una stanza con pochi microfoni. Quando l'altoparlante emette un impulso sonoro, i microfoni ricevono diverse risposte ritardate mentre il suono si riverbera da ogni parete della stanza. Questi echi di primo ordine, ascoltati dopo che gli impulsi sonori sono rimbalzati solo una volta su un muro, poi rimbalzano da ogni parete per creare echi di secondo ordine e così via.

In una pubblicazione cartacea la prossima settimana nel SIAM Journal on Algebra Applicata e Geometria , Mireille Boutin e Gregor Kemper tentano di ricostruire la forma di una stanza usando echi di prim'ordine ricevuti da quattro microfoni collegati a un drone. I microfoni sono allineati in una configurazione rigida e non giacciono su un piano comune. Posizionare i microfoni su un drone, piuttosto che in modo indipendente in tutta la stanza, rivela nuove aree di applicazione.

"I microfoni ascoltano un breve impulso sonoro che rimbalza su superfici planari finite, o "pareti, '" Boutin, professore di matematica e ingegneria elettrica e informatica alla Purdue University, spiega. "Quando un microfono sente un suono che è rimbalzato su una parete, viene registrata la differenza di tempo tra l'emissione e la ricezione del suono. Questa differenza di tempo corrisponde alla distanza percorsa dal suono durante quel tempo."

Il ritardo temporale di ogni eco di primo ordine fornisce agli autori una serie di distanze da ogni microfono per rispecchiare le immagini della sorgente riflessa su ogni parete. Identificare il muro corrispondente da cui proviene ogni eco è impossibile; un microfono potrebbe non ricevere nemmeno un'eco da una determinata parete in base alla sua configurazione e alla geometria della stanza.

Gli autori utilizzano una tecnica di modellazione nota per concentrarsi sugli echi di primo ordine. Questo metodo interpreta il suono rimbalzato come proveniente da una sorgente virtuale dietro il muro anziché dalla sorgente, consentendo così a un punto sorgente virtuale di rappresentare ogni parete.

"Le differenze di tempo tra emissione e ricezione forniscono la distanza tra il microfono e il punto sorgente virtuale, " dice Boutin. "Se conosciamo la distanza da uno di questi punti sorgente virtuali a ciascuno dei quattro microfoni, possiamo recuperare le coordinate della sorgente virtuale e successivamente ricostruire quattro punti sul muro, e quindi il piano che contiene il muro".

Però, i microfoni non possono determinare la distanza che corrisponde a ciascun punto sorgente virtuale, cioè., ogni parete. In risposta, Boutin e i suoi colleghi hanno progettato un metodo per etichettare le distanze correlate a ciascuna parete, un processo che chiamano "ordinamento dell'eco".

La tecnica dell'echo sorting utilizza un polinomio come test di screening e scopre se le quattro distanze giacciono sull'insieme zero di un certo polinomio in quattro variabili. Un valore diverso da zero rivela che le distanze non possono rimbalzare dallo stesso muro. In alternativa, se il polinomio è uguale a zero, le distanze potrebbero eventualmente provenire dalla stessa parete.

Questo studio dimostra che ricostruire una stanza da echi di prim'ordine acquisiti da quattro microfoni è un problema teorico ben posto in condizioni generiche. "Questo è un primo passo verso la risoluzione del corrispondente problema del mondo reale, " Boutin osserva. "Se il problema non era ben posto, quindi una soluzione pratica richiederebbe maggiori informazioni. Ma poiché sappiamo che è ben posato, possiamo passare al passaggio successivo:trovare un modo per ricostruire la stanza quando le misurazioni dell'eco sono rumorose."

Questo compito non è affatto semplice. Alcuni posizionamenti di droni danno luogo a problemi che non sono ben posti, suggerendo che la versione rumorosa del problema sarà suscettibile di cattivo condizionamento. È necessario più lavoro per risolvere adeguatamente il problema della ricostruzione di una stanza dagli echi.

Mentre il quadro matematico richiede semplicemente una configurazione rigida di microfoni non complanari, la ricerca ha una gamma di altre potenziali applicazioni. "Questi microfoni possono essere posizionati all'interno di una stanza o su qualsiasi veicolo, come una macchina, un veicolo subacqueo, o il casco di una persona, "Gregor Kemper, professore nel Dipartimento di Matematica della Technische Universität München, spiega. L'articolo della rivista degli autori pone esempi con stazionario, sorgenti sonore interne così come sorgenti poste su veicoli che possono essere ruotate e traslate a causa del movimento; queste ultime fonti presentano situazioni significativamente più complicate.

"Un'auto in movimento è diversa da un drone o da un veicolo subacqueo in un modo interessante, " Kemper aggiunge. "Le sue posizioni hanno solo tre gradi di libertà:assi x, assi y, e orientamento, mentre un drone ha sei gradi di libertà. Il nostro lavoro indica che questi sei gradi di libertà sono sufficienti per rilevare quasi sempre le pareti, ma questo non significa necessariamente che bastino anche tre gradi. Il caso di un'auto o di qualsiasi veicolo di superficie è oggetto di continua ricerca da parte del nostro gruppo".

Raggiungere l'economia computazionale per tali problemi è un obiettivo importante per Boutin e Kemper. Il loro metodo richiede un sistema di computer algebra per eseguire calcoli simbolici, che può diventare computazionalmente più complesso per altre varianti del problema, limitando così la sua espansione a problemi simili. "Sarebbe auspicabile trovare una tecnica meno costosa dal punto di vista computazionale per dimostrare gli stessi risultati, soprattutto se questo metodo si è rivelato applicabile ad altri casi, " dice Kemper. "Il nostro quadro matematico è adatto per veicoli di superficie, ma i calcoli effettivi necessari per la prova presentano sfide. Speriamo che altre squadre esplorino questo problema".