Le linee equiangolari sono linee nello spazio che passano per un singolo punto, e i cui angoli a due a due sono tutti uguali. Immagina in 2D le tre diagonali di un esagono regolare, e in 3D, le sei linee che collegano i vertici opposti di un icosaedro regolare. I matematici non sono limitati a tre dimensioni, però.

"In grandi dimensioni, le cose si fanno davvero interessanti, e le possibilità possono sembrare illimitate, "dice Yufei Zhao, assistente professore di matematica.

Ma non sono illimitati, secondo Zhao e il suo team di matematici del MIT, che ha cercato di risolvere questo problema sulla geometria delle linee nello spazio ad alta dimensione. È un problema su cui i ricercatori si interrogano da almeno 70 anni.

La loro svolta determina il numero massimo possibile di linee che possono essere posizionate in modo che le linee siano separate a coppie dallo stesso angolo dato. Zhao ha scritto il documento con un gruppo di ricercatori del MIT composto da studenti universitari Yuan Yao e Shengtong Zhang, dottorato di ricerca studente Jonathan Tidor, e postdoc Zilin Jiang. (Yao ha iniziato di recente come studente di dottorato in matematica al MIT, e Jiang è ora un membro di facoltà presso l'Arizona State University). Il loro articolo sarà pubblicato nel numero di gennaio 2022 di Annali di matematica .

La matematica delle linee equiangolari può essere codificata utilizzando la teoria dei grafi. Il documento fornisce nuove intuizioni in un'area della matematica nota come teoria dei grafi spettrali, che fornisce strumenti matematici per lo studio delle reti. La teoria dei grafi spettrali ha portato a importanti algoritmi nell'informatica come l'algoritmo PageRank di Google per il suo motore di ricerca.

Questa nuova comprensione delle linee equiangolari ha potenziali implicazioni per la codifica e le comunicazioni. Le linee equiangolari sono esempi di "codici sferici, " che sono strumenti importanti nella teoria dell'informazione, consentire a diverse parti di scambiarsi messaggi su un canale di comunicazione rumoroso, come quelli inviati tra la NASA e i suoi rover su Marte.

Il problema dello studio del numero massimo di rette equiangolari con un dato angolo fu introdotto in un articolo del 1973 di P.W.H. Lemmens e J.J. Seidel.

"Questo è un bellissimo risultato che fornisce una risposta sorprendentemente nitida a un problema ben studiato di geometria estremale che ha ricevuto una notevole attenzione a partire dagli anni '60, ", afferma il professore di matematica dell'Università di Princeton Noga Alon.

Il nuovo lavoro del team del MIT fornisce quella che Zhao chiama "una soluzione soddisfacente a questo problema".

"All'epoca c'erano delle buone idee, ma poi la gente è rimasta bloccata per quasi tre decenni, " dice Zhao. Ci sono stati alcuni importanti progressi fatti alcuni anni fa da un team di ricercatori tra cui Benny Sudakov, professore di matematica al Politecnico federale di Zurigo (ETH). Zhao ha ospitato la visita di Sudakov al MIT nel febbraio 2018 quando Sudakov ha parlato nel seminario di ricerca combinatoria del suo lavoro sulle linee equiangolari.

Jiang è stato ispirato a lavorare sul problema delle linee equiangolari sulla base del lavoro del suo ex dottorato di ricerca. consulente Bukh Boris alla Carnegie Mellon University. Jiang e Zhao si sono uniti nell'estate del 2019, e furono raggiunti da Tidor, Yao, e Zhang. "Volevo trovare un buon progetto di ricerca estivo, e ho pensato che questo fosse un grande problema su cui lavorare, " Zhao spiega. "Ho pensato che potremmo fare dei bei progressi, ma è stato decisamente oltre le mie aspettative risolvere completamente l'intero problema."

La ricerca è stata parzialmente supportata dalla Alfred P. Sloan Foundation e dalla National Science Foundation. Yao e Zhang hanno partecipato alla ricerca attraverso il Programma estivo per la ricerca universitaria del Dipartimento di matematica (SPUR), e Tidor era il loro mentore studente laureato. I loro risultati erano valsi loro l'Hartley Rogers Jr. Prize del dipartimento di matematica per il miglior articolo SPUR.

"È uno dei risultati di maggior successo del programma SPUR, " dice Zhao. "Non capita tutti i giorni che un problema aperto di lunga data venga risolto."

Uno degli strumenti matematici chiave utilizzati nella soluzione è noto come teoria dei grafi spettrali. La teoria dei grafi spettrali ci dice come utilizzare gli strumenti dell'algebra lineare per comprendere grafici e reti. Lo "spettro" di un grafo si ottiene trasformando un grafo in una matrice e osservando i suoi autovalori.

"È come se illuminassi un intenso raggio di luce su un grafico e poi esaminassi lo spettro di colori che ne escono, " Zhao spiega. "Abbiamo scoperto che lo spettro emesso non può mai essere troppo concentrato vicino alla parte superiore. Si scopre che questo fatto fondamentale sugli spettri dei grafici non è mai stato osservato".

Il lavoro fornisce un nuovo teorema nella teoria dei grafi spettrali:un grafo a gradi limitati deve avere una molteplicità di secondo autovalore sublineare. La dimostrazione richiede intuizioni intelligenti che mettono in relazione lo spettro di un grafico con lo spettro di piccoli pezzi del grafico.

"La prova ha funzionato in modo pulito e bello, " dice Zhao. "Ci siamo divertiti così tanto a lavorare insieme a questo problema."