Una funzione esprime relazioni tra costanti e una o più variabili. Ad esempio, la funzione f (x) = 5x + 10 esprime una relazione tra la variabile x e le costanti 5 e 10. Conosciuto come derivate ed espresso come dy /dx, df (x) /dx o f '(x), la differenziazione trova il tasso di variazione di una variabile rispetto a un'altra - nell'esempio, f (x) rispetto a x. La differenziazione è utile per trovare la soluzione ottimale, ovvero trovare le condizioni massime o minime. Esistono alcune regole di base per quanto riguarda la differenziazione delle funzioni.

Differenziare una funzione costante. La derivata di una costante è zero. Ad esempio, se f (x) = 5, allora f '(x) = 0.

Applica la regola di potere per differenziare una funzione. La regola di potere afferma che se f (x) = x ^ n o x elevato alla potenza n, allora f '(x) = nx ^ (n - 1) o x elevato alla potenza (n - 1) e moltiplicato per n. Ad esempio, se f (x) = 5x, allora f '(x) = 5x ^ (1 - 1) = 5. Analogamente, se f (x) = x ^ 10, allora f' (x) = 9x ^ 9 ; e se f (x) = 2x ^ 5 + x ^ 3 + 10, quindi f '(x) = 10x ^ 4 + 3x ^ 2.

Trova la derivata di una funzione usando la regola del prodotto. Il differenziale di un prodotto non è il prodotto dei differenziali dei suoi singoli componenti: Se f (x) = uv, dove uev sono due funzioni separate, allora f '(x) non è uguale a f' (u) moltiplicato di f '(v). Piuttosto, la derivata di un prodotto di due funzioni è la prima volta la derivata del secondo, più la seconda volta la derivata del primo. Ad esempio, se f (x) = (x ^ 2 + 5x) (x ^ 3), le derivate delle due funzioni sono 2x + 5 e 3x ^ 2, rispettivamente. Quindi, usando la regola del prodotto, f '(x) = (x ^ 2 + 5x) (3x ^ 2) + (x ^ 3) (2x + 5) = 3x ^ 4 + 15x ^ 3 + 2x ^ 4 + 5x ^ 3 = 5x ^ 4 + 20x ^ 3.

Ottieni la derivata di una funzione usando la regola del quoziente. Un quoziente è una funzione divisa per un'altra. La derivata di un quoziente equivale al denominatore moltiplicato per la derivata del numeratore meno il numeratore moltiplicato per il derivato del denominatore, quindi diviso per il denominatore al quadrato. Ad esempio, se f (x) = (x ^ 2 + 4x) /(x ^ 3), le derivate delle funzioni numeratore e denominatore sono 2x + 4 e 3x ^ 2, rispettivamente. Quindi, usando la regola del quoziente, f '(x) = [(x ^ 3) (2x + 4) - (x ^ 2 + 4x) (3x ^ 2)] /(x ^ 3) ^ 2 = (2x ^ 4 + 4x ^ 3 - 3x ^ 4 - 12x ^ 3) /x ^ 6 = (-x ^ 4 - 8x ^ 3) /x ^ 6.

Usa derivate comuni. Le derivate di funzioni trigonometriche comuni, che sono funzioni di angoli, non hanno bisogno di essere derivate dai primi principi - le derivate di sin x e cos x sono rispettivamente cos x e -sin x. La derivata della funzione esponenziale è la funzione stessa - f (x) = f '(x) = e ^ x, e la derivata della funzione logaritmica naturale, ln x, è 1 /x. Ad esempio, se f (x) = sin x + x ^ 2 - 4x + 5, quindi f '(x) = cos x + 2x - 4.