I tassi di cambiamento si manifestano dappertutto nella scienza, e specialmente in fisica attraverso quantità come velocità e accelerazione. I derivati ​​descrivono il tasso di variazione di una quantità rispetto ad un altro matematicamente, ma calcolarli può essere talvolta complicato e si potrebbe presentare un grafico piuttosto che una funzione in forma di equazione. Se ti viene presentato un grafico di una curva e devi trovare la derivata da esso, potresti non essere in grado di essere accurato come con un'equazione, ma puoi facilmente fare una stima solida.

TL ; DR (troppo lungo, non letto)

Scegli un punto nel grafico per trovare il valore della derivata a.

Disegna una linea retta tangente alla curva del grafico a questo punto.

Prendi la pendenza di questa linea per trovare il valore della derivata nel punto prescelto nel grafico.

Che cos'è un derivativo?

Al di fuori del impostazione astratta di differenziazione di un'equazione, potresti essere un po 'confuso su cosa sia realmente un derivato. In algebra, una derivata di una funzione è un'equazione che ti dice il valore della "pendenza" della funzione in qualsiasi punto. In altre parole, ti dice quanto cambia una quantità dato un piccolo cambiamento nell'altra. Su un grafico, il gradiente o la pendenza della linea ti dice quanto la variabile dipendente (posizionata sull'asse y
) cambia con la variabile indipendente (su x -axis) .

Per i grafici in linea retta, si determina il tasso di variazione (costante) calcolando la pendenza del grafico. Le relazioni descritte dalle curve non sono così facili da gestire, ma il principio che la derivata indica semplicemente la pendenza (in quel punto specifico) è ancora valido.

Scegli la posizione giusta per la tua derivativa

Per le relazioni descritte da curve, la derivata assume un valore diverso in ogni punto lungo la curva. Per stimare la derivata del grafico, devi scegliere un punto in cui prendere la derivata. Ad esempio, se si dispone di un grafico che mostra la distanza percorsa contro il tempo, su un grafico lineare, la pendenza indica la velocità costante. Per velocità che cambiano nel tempo, il grafico sarebbe una curva, ma una linea retta che tocca appena la curva in un punto (una linea tangente alla curva) rappresenta la velocità di cambiamento in quel punto specifico.

Scegli un punto in cui devi conoscere la derivata in. Utilizzando l'esempio della distanza percorsa rispetto al tempo, selezionare l'orario in cui si desidera conoscere la velocità del viaggio. Se è necessario conoscere la velocità in diversi punti, è possibile eseguire questo processo per ogni singolo punto. Se vuoi conoscere la velocità 15 secondi dopo l'inizio del movimento, scegli il punto sulla curva a 15 secondi su x -axis.

Disegna una linea tangente alla curva a quel punto

Disegna una linea tangente alla curva nel punto in cui ti interessa. Prenditi il ​​tuo tempo quando lo fai, perché è la parte più importante e più impegnativa del processo. La tua stima sarà migliore se disegni una linea tangente più accurata. Mantieni un righello fino al punto della curva e regola il suo orientamento in modo che la linea che disegni sia solo per toccare la curva nel punto in cui sei interessato.

Disegna la tua linea come finché il grafico lo consentirà. Assicurati di poter leggere facilmente due valori per le coordinate x
e y, uno vicino all'inizio della linea e uno vicino alla fine. Non è assolutamente necessario disegnare una linea lunga (tecnicamente qualsiasi linea retta è adatta), ma le linee più lunghe tendono ad essere più facili da misurare la pendenza di.

Trova il pendio della linea tangente

Individua due punti sulla linea e prendi nota delle coordinate x
e y per loro. Ad esempio, immagina la tua linea tangente come due punti notevoli su x
= 1, y
= 3 e x
= 10, y
= 30, che puoi chiamare Punto 1 e Punto 2. Usando i simboli x
_{1 e y
1 per rappresentare le coordinate del primo punto e x
2 e y
2 per rappresentare le coordinate del secondo punto, la pendenza m
è data da:}

m
= ( y
_{2 - y
1) ÷ ( x
2 - x
1)}

Questo ti dice la derivata della curva nel punto in cui la linea tocca la curva. Nell'esempio, x
_{1 = 1, x
2 = 10, y
1 = 3 e y
2 = 30, quindi:}

m
= (30 -
3) ÷ (10 -
1)

= 27 ÷ 9

= 3

Nell'esempio, questo risultato sarebbe la velocità nel punto scelto. Quindi se l' x
-axis è stato misurato in secondi e l' y
-axis è stato misurato in metri, il risultato significherebbe che il veicolo in questione viaggiava a 3 metri al secondo. Indipendentemente dalla quantità specifica che stai calcolando, il processo di stima della derivata è lo stesso.