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Il radiante è l'unità fondamentale per misurare gli angoli in matematica e fisica. È definito dalla geometria di un cerchio:se prendi un arco la cui lunghezza è uguale al raggio del cerchio, l'angolo sotteso al centro da quell'arco è un radiante. Questa definizione lega l'unità direttamente alla forma del cerchio, rendendolo più "naturale" per molte formule matematiche.
Un radiante è un'unità angolare basata sul raggio del cerchio e semplifica molte equazioni avanzate in matematica e fisica.
I gradi sono il modo quotidiano di esprimere gli angoli:360° in un cerchio completo, 180° in un triangolo, 90° per un angolo retto. I radianti, tuttavia, derivano dalla geometria stessa del cerchio:un cerchio completo è 2π radianti, un triangolo è π radianti e un angolo retto è π/2 radianti. Sebbene π sia irrazionale, i radianti semplificano i calcoli che altrimenti implicherebbero moltiplicatori π.
Per l'aritmetica e la trigonometria di base, i gradi sono convenienti perché raramente sono necessarie frazioni di π. Nel calcolo, i radianti diventano essenziali. La serie di potenze per il seno, ad esempio, è molto più pulita in radianti:
\(\sin(x) =x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots\)
In gradi, la stessa serie richiederebbe l'inserimento ripetuto di \(\frac{\pi x}{180}\), aumentando sia la lunghezza che la possibilità di errore. Poiché i radianti derivano direttamente dalla geometria del cerchio, si adattano naturalmente al comportamento delle funzioni trigonometriche nel calcolo.
Nel calcolo, la derivata di \(\sin(x)\) è semplicemente \(\cos(x)\) quando x è espresso in radianti. In gradi, la derivata includerebbe un fattore aggiuntivo di \(\frac{\pi}{180}\). In fisica, la velocità angolare è spesso scritta come \(\omega\) e misurata in radianti al secondo; ad esempio, una rotazione completa al secondo equivale a \(2\pi\) rad/s. I radianti riducono quindi la confusione sia nelle formule che nella notazione.
Per convertire un angolo da gradi a radianti, moltiplicare per \(\pi\) e dividere per 180. Ad esempio, 360° × \(\pi\) ÷ 180 =2\pi rad. Al contrario, per convertire da radianti a gradi, moltiplicare per 180 e dividere per \(\pi\). Quindi \(\frac{\pi}{2}\) rad × 180 ÷ \(\pi\) =90°.
