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L'algebra richiede spesso la semplificazione delle espressioni e dei numeri complessi, quelli che contengono l'unità immaginaria i (definito da i ² =–1)—a prima vista può sembrare intimidatorio. Tuttavia, una volta padroneggiate le regole fondamentali, gestire i numeri complessi è semplice e affidabile.
Segui le regole algebriche di base (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione) quando lavori con numeri complessi per semplificare qualsiasi espressione.
I numeri complessi estendono il sistema dei numeri reali incorporando l'unità immaginaria i , la radice quadrata di –1. Qualsiasi numero complesso può essere scritto nella forma standard:
\(z =a + bi\)
Ecco, a è la parte reale e b è la parte immaginaria, ciascuna delle quali può essere positiva o negativa. Ad esempio, z =2 – 4i dimostra la struttura. In effetti, i numeri reali ordinari sono semplicemente numeri complessi con b =0, quindi il sistema di numerazione complesso è un'estensione naturale di tutti i numeri.
Addizione e sottrazione
Quando aggiungi o sottrai numeri complessi, combina separatamente le parti reali e le parti immaginarie. Ad esempio, con z =2 – 4i e w =3 + 5i :
\(\begin{aligned} z + w &=(2 – 4i) + (3 + 5i)\\ &=(2 + 3) + (-4 + 5)i\\ &=5 + i\end{aligned}\)
La sottrazione segue lo stesso principio:
\(\begin{aligned} z - w &=(2 – 4i) – (3 + 5i)\\ &=(2 – 3) + (-4 – 5)i\\ &=-1 - 9i\end{aligned}\)
Moltiplicazione
La moltiplicazione è analoga all'algebra ordinaria, ma devi ricordare che i ² =–1. Per due numeri immaginari semplici, 3i × –4i :
\(3i \volte -4i =-12i^2 =-12(-1) =12\)
Con i numeri complessi completi, utilizza il metodo FOIL:
\(\begin{aligned} z \times w &=(2 - 4i)(3 + 5i)\\ &=(2 \times 3) + (-4i \times 3) + (2 \times 5i) + (-4i \times 5i)\\ &=6 - 12i + 10i - 20i^2\\ &=6 - 2i + 20\\ &=26 + 2i\end{allineato}\)
Divisione
Per dividere i numeri complessi, moltiplica numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore. La coniugata di un numero complesso z =a + bi è z* =a-bi. Ad esempio:
\(\frac{z}{w} =\frac{2 - 4i}{3 + 5i}\)
Moltiplicare per il coniugato del denominatore (3 – 5i ):
\(\frac{z}{w} =\frac{(2 - 4i)(3 - 5i)}{(3 + 5i)(3 - 5i)}\)
Calcola numeratore e denominatore separatamente:
\(\begin{aligned} (2 - 4i)(3 - 5i) &=6 - 12i - 10i + 20i^2 \newline &=-14 - 22i \newline (3 + 5i)(3 - 5i) &=9 + 15i - 15i - 25i^2 \newline &=34\end{aligned}\)
Quindi:
\(\frac{z}{w} =\frac{-14 - 22i}{34} =-\frac{7}{17} - \frac{11}{17}i\)
Applicare le regole di cui sopra per ridurre qualsiasi espressione complessa. Considera l'esempio:
\(z =\frac{(4 + 2i) + (2 - i)}{(2 + 2i)(2 + i)}\)
Per prima cosa semplifica il numeratore:
\((4 + 2i) + (2 - i) =6 + i\)
Quindi il denominatore:
\(\begin{aligned} (2 + 2i)(2 + i) &=4 + 4i + 2i + 2i^2 \newline &=(4 - 2) + 6i \newline &=2 + 6i\end{aligned}\)
La frazione diventa:
\(z =\frac{6 + i}{2 + 6i}\)
Moltiplica numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore (2 – 6i ):
\(\begin{aligned} z &=\frac{(6 + i)(2 - 6i)}{(2 + 6i)(2 - 6i)} \newline &=\frac{12 + 2i - 36i - 6i^2}{4 + 12i - 12i - 36i^2} \newline &=\frac{18 - 34i}{40} \newline &=\frac{9}{20} - \frac{17}{20}i\end{allineato}\)
Quindi la forma semplificata è:
\(z =\frac{9}{20} - \frac{17}{20}i\)
