Cosa fai dopo aver risolto la risposta alla vita, l'universo, e ogni cosa? Se siete i matematici Drew Sutherland e Andy Booker, tu vai per il problema più difficile.

Nel 2019, Prenotatore, presso l'Università di Bristol, e Sutherland, principale ricercatore al MIT, sono stati i primi a trovare la risposta a 42. Il numero ha un significato nella cultura pop come risposta fittizia a "la domanda fondamentale della vita, l'universo, e ogni cosa, " come scrisse Douglas Adams nel suo romanzo "Guida galattica per autostoppisti". almeno nel romanzo, è frustrante, esilarante sconosciuto.

In matematica, del tutto per coincidenza, esiste un'equazione polinomiale per la quale la risposta, 42, similmente era sfuggito ai matematici per decenni. L'equazione x ³ +y ³ +z ³ =k è noto come problema della somma dei cubi. Sebbene apparentemente semplice, l'equazione diventa esponenzialmente difficile da risolvere se inquadrata come una "equazione diofantea", un problema che stabilisce che, per ogni valore di k, i valori per x, sì, e z devono essere numeri interi.

Quando l'equazione della somma dei cubi è strutturata in questo modo, per certi valori di k, le soluzioni intere per x, sì, ez può crescere fino a raggiungere numeri enormi. Lo spazio numerico in cui i matematici devono cercare questi numeri è ancora più grande, richiedono calcoli complessi e massicci.

Negli anni, i matematici erano riusciti con vari mezzi a risolvere l'equazione, o trovando una soluzione o determinando che una soluzione non deve esistere, per ogni valore di k compreso tra 1 e 100, eccetto 42.

A settembre 2019, Booker e Sutherland, sfruttando la potenza combinata di mezzo milione di home computer in tutto il mondo, per la prima volta ha trovato una soluzione a 42. La svolta ampiamente riportata ha spronato la squadra ad affrontare un problema ancora più difficile, e per certi versi problema più universale:trovare la prossima soluzione per 3.

Booker e Sutherland hanno ora pubblicato le soluzioni per 42 e 3, insieme a molti altri numeri maggiori di 100, questa settimana in Atti dell'Accademia Nazionale delle Scienze .

Raccogliendo il guanto di sfida

Le prime due soluzioni dell'equazione x ³ +y ³ +z ³ =3 potrebbe essere ovvio per qualsiasi studente di algebra delle superiori, dove x, sì, e z può essere 1, 1, e 1, o 4, 4, e -5. Trovare una terza soluzione, però, ha messo in difficoltà i teorici dei numeri esperti per decenni, e nel 1953 il puzzle spinse il matematico pioniere Louis Mordell a porsi la domanda:è possibile sapere se esistono altre soluzioni per 3?

"Questo è stato un po' come Mordell che lanciava il guanto di sfida, " dice Sutherland. "L'interesse nel risolvere questa domanda non è tanto per la soluzione particolare, ma per capire meglio quanto siano difficili da risolvere queste equazioni. È un punto di riferimento con cui possiamo misurarci".

Con il passare dei decenni senza nuove soluzioni per 3, molti cominciarono a credere che non ce ne fossero. Ma subito dopo aver trovato la risposta a 42, Il metodo di Booker e Sutherland, in un tempo sorprendentemente breve, ha mostrato la prossima soluzione per 3:

569936821221962380720 ³ + (-569936821113563493509) ³ + (-472715493453327032) ³ =3

La scoperta è stata una risposta diretta alla domanda di Mordell:Sì, è possibile trovare la soluzione successiva a 3, e per di più, ecco quella soluzione E forse più universalmente, la soluzione, coinvolgendo giganteschi, Numeri di 21 cifre che non era possibile setacciare fino ad ora, suggerisce che ci sono più soluzioni là fuori, per 3, e altri valori di k.

"C'era stato qualche serio dubbio nelle comunità matematiche e computazionali, perché [la domanda di Mordell] è molto difficile da testare, " Dice Sutherland. "I numeri diventano così grandi così velocemente. Non troverai mai più delle prime soluzioni. Ma quello che posso dire è, avendo trovato questa soluzione, Sono convinto che ce ne siano infiniti di più là fuori".

Una svolta nella soluzione

Per trovare le soluzioni sia per 42 che per 3, il team ha iniziato con un algoritmo esistente, o una torsione dell'equazione della somma dei cubi in una forma che ritenevano più gestibile da risolvere:

k - z ³ =x ³ + si ³ =(x + y)(x ² - xy + y ² )

Questo approccio è stato proposto per la prima volta dal matematico Roger Heath-Brown, il quale ha ipotizzato che ci dovrebbero essere infinite soluzioni per ogni k adatto. Il team ha ulteriormente modificato l'algoritmo rappresentando x+y come un singolo parametro, D. Hanno quindi ridotto l'equazione dividendo entrambi i membri per d e mantenendo solo il resto - un'operazione in matematica chiamata "modulo d" - lasciando una rappresentazione semplificata del problema.

"Ora puoi pensare a k come una radice cubica di z, modulo d, " Spiega Sutherland. "Quindi immagina di lavorare in un sistema di aritmetica in cui ti interessa solo il resto modulo d, e stiamo cercando di calcolare una radice cubica di k."

Con questa versione più elegante dell'equazione, i ricercatori dovrebbero solo cercare valori di d e z che garantiscano di trovare le soluzioni ultime a x, sì, e z, per k=3. Ma ancora, lo spazio dei numeri che dovrebbero cercare sarebbe infinitamente grande.

Così, i ricercatori hanno ottimizzato l'algoritmo utilizzando tecniche matematiche di "setaccio" per ridurre drasticamente lo spazio delle possibili soluzioni per d.

"Ciò implica una teoria dei numeri abbastanza avanzata, usando la struttura di ciò che sappiamo sui campi numerici per evitare di cercare in posti che non abbiamo bisogno di cercare, "dice Sutherland.

Un compito globale

Il team ha anche sviluppato modi per suddividere in modo efficiente la ricerca dell'algoritmo in centinaia di migliaia di flussi di elaborazione paralleli. Se l'algoritmo fosse eseguito su un solo computer, ci sarebbero voluti centinaia di anni per trovare una soluzione a k=3. Dividendo il lavoro in milioni di compiti più piccoli, ciascuno eseguito indipendentemente su un computer separato, il team potrebbe accelerare ulteriormente la ricerca.

A settembre 2019, i ricercatori hanno messo in atto il loro piano tramite Charity Engine, un progetto scaricabile come app gratuita da qualsiasi personal computer, e che è progettato per sfruttare qualsiasi potenza di calcolo domestica di riserva per risolvere collettivamente difficili problemi matematici. Al tempo, La griglia di Charity Engine comprendeva oltre 400, 000 computer in tutto il mondo, e Booker e Sutherland sono stati in grado di eseguire il loro algoritmo sulla rete come test della nuova piattaforma software di Charity Engine.

"Per ogni computer della rete, gli viene detto, 'il tuo compito è cercare d il cui fattore primo rientri in questo intervallo, soggetto ad altre condizioni, '", dice Sutherland. "E abbiamo dovuto capire come dividere il lavoro in circa 4 milioni di attività che avrebbero richiesto ciascuna circa tre ore per il completamento di un computer".

Molto velocemente, la griglia globale ha restituito la prima soluzione a k=42, e solo due settimane dopo, i ricercatori hanno confermato di aver trovato la terza soluzione per k=3, una pietra miliare che hanno segnato, in parte, stampando l'equazione sulle magliette.

Il fatto che esista una terza soluzione per k=3 suggerisce che la congettura originale di Heath-Brown fosse corretta e che ci siano infinite più soluzioni oltre a questa più recente. Heath-Brown prevede anche che lo spazio tra le soluzioni crescerà in modo esponenziale, insieme alle loro ricerche. Ad esempio, anziché i valori a 21 cifre della terza soluzione, la quarta soluzione per x, sì, ez probabilmente coinvolgerà numeri con 28 cifre da capogiro.

"La quantità di lavoro che devi fare per ogni nuova soluzione cresce di un fattore di oltre 10 milioni, quindi la prossima soluzione per 3 avrà bisogno di 10 milioni per 400, 000 computer da trovare, e non c'è alcuna garanzia che sia anche abbastanza, " Dice Sutherland. "Non so se sapremo mai la quarta soluzione. Ma credo che sia là fuori".