Per costruire un vettore perpendicolare ad un altro dato vettore, puoi usare tecniche basate sul prodotto-punto e sul prodotto incrociato dei vettori. Il prodotto-punto dei vettori A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3) è uguale alla somma dei prodotti dei componenti corrispondenti: A ∙ B = a1_b2 + a2_b2 + a3_b3. Se due vettori sono perpendicolari, allora il loro prodotto punto è uguale a zero. Il cross-product di due vettori è definito come A × B = (a2_b3 - a3_b2, a3_b1 - a1_b3, a1_b2 - a2 * b1). Il prodotto incrociato di due vettori non paralleli è un vettore perpendicolare a entrambi.

Due dimensioni - Prodotto punto

Annota un vettore ipotetico e sconosciuto V = (v1, v2).

Calcola il prodotto punto di questo vettore e il vettore dato. Se ti viene dato U = (-3,10), allora il prodotto punto è V ∙ U = -3 v1 + 10 v2.

Imposta il prodotto punto uguale a 0 e risolvi per un componente sconosciuto in termini dell'altro: v2 = (3/10) v1.

Scegli qualsiasi valore per v1. Ad esempio, lascia v1 = 1.

Risolvi per v2: v2 = 0.3. Il vettore V = (1,0.3) è perpendicolare a U = (-3,10). Se hai scelto v1 = -1, otterresti il ​​vettore V '= (-1, -0.3), che punta nella direzione opposta della prima soluzione. Queste sono le uniche due direzioni nel piano bidimensionale perpendicolare al vettore dato. È possibile ridimensionare il nuovo vettore in base alla grandezza desiderata. Ad esempio, per renderlo un vettore unitario di magnitudine 1, costruisci W = V /(magnitudine di v) = V /(sqrt (10) = (1 /sqrt (10), 0.3 /sqrt (10).

Tre dimensioni - Dot Product

Annota un ipotetico vettore sconosciuto V = (v1, v2, v3).

Calcola il prodotto punto di questo vettore e il dato Se ti viene dato U = (10, 4, -1), allora V ∙ U = 10 v1 + 4 v2 - v3.

Imposta il prodotto punto uguale a zero. Questa è l'equazione per un piano in tre dimensioni.Qualsiasi vettore in quel piano è perpendicolare a U. Qualsiasi serie di tre numeri che soddisfa 10 v1 + 4 v2 - v3 = 0 farà.

Scegli valori arbitrari per v1 e v2, e risolve per v3. Sia v1 = 1 e v2 = 1. Quindi v3 = 10 + 4 = 14.

Esegui il test del prodotto dot per mostrare che V è perpendicolare a U: mediante il test del prodotto dot, il vettore V = (1, 1, 14) è perpendicolare al vettore U: V ∙ U = 10 + 4 - 14 = 0.

Tre dimensioni - Prodotto incrociato

Scegli una qualsiasi vettore arbitrario che non è paralle l al vettore dato. Se un vettore Y è parallelo a un vettore X, allora Y = a * X per una costante diversa da zero a. Per semplicità, usa uno dei vettori di base delle unità, come X = (1, 0, 0).

Calcola il prodotto incrociato di X e U, usando U = (10, 4, -1): W = X × U = (0, 1, 4).

Verificare che W sia perpendicolare a U. W ∙ U = 0 + 4 - 4 = 0. Utilizzo di Y = (0, 1, 0) oppure Z = (0, 0, 1) darebbe diversi vettori perpendicolari. Si troverebbero tutti nel piano definito dall'equazione 10 v1 + 4 v2 - v3 = 0.