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Quando ti immergi per la prima volta nella trigonometria, incontrerai un potente set di strumenti chiamati identità di semiangolo. Queste formule ti consentono di tradurre espressioni trigonometriche che coinvolgono θ /2 in espressioni che utilizzano l'angolo più familiare θ . In pratica, ti aiutano a semplificare un'espressione o a calcolare il valore esatto di una funzione trigonometrica quando l'argomento è la metà di un angolo ben noto.

Identità fondamentali del mezzo angolo

Di seguito sono riportate le identità principali di cui avrai bisogno. Sebbene molti testi li presentino in un'unica forma, ciascuno può essere trasformato algebricamente in diverse utili varianti.

Identità del semiangolo per il seno

\(\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 – \cosθ}{2}}\)

Identità del semiangolo per il coseno

\(\cos\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{2}}\)

Identità di semiangolo per tangente

\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 -\cosθ}{1 + \cosθ}}\)

\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{\sinθ}{1 + \cosθ}\)

\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{1 – \cosθ}{\sinθ}\)

\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\cscθ – \cotθ\)

Identità di semiangolo per cotangente

\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{1 – \cosθ}}\)

\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{\sinθ}{1 – \cosθ}\)

\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{1 + \cosθ}{\sinθ}\)

\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\cscθ + \cotθ\)

Esempio pratico:calcolo di sin15°

Esaminiamo come applicare queste identità per trovare il valore esatto di sin15° , un angolo che non fa parte della famiglia standard di 30°, 45° o 60°.

1. Esprimi l'angolo come metà di un valore noto

Imposta θ /2 =15°, ottenendo θ =30°. Poiché 30° è un angolo familiare, possiamo utilizzare l'identità del semiangolo seno.

2. Seleziona la formula appropriata

Perché abbiamo bisogno del peccato , usiamo:\(\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 – \cosθ}{2}}\)

3. Risolvi il segno ±

Il segno dipende dal quadrante. Ecco θ =30° si trova nel quadrante I, dove il seno è positivo, quindi tralasciamo l'opzione negativa.

4. Sostituisci i valori noti

Sostituisci cos30° con il suo valore esatto \(\sqrt{3}/2\) :\(\sin(15°) =\sqrt{\frac{1 – \sqrt{3}/2}{2}}\)

5. Semplifica

Moltiplica numeratore e denominatore all'interno della radice per 2 per cancellare la frazione:\(\sin(15°) =\sqrt{\frac{2(1 – \sqrt{3}/2)}{4}}\)

Il che si semplifica in:\(\sin(15°) =\sqrt{\frac{2 – \sqrt{3}}{4}}\)

Infine, fattorizza la radice quadrata di 4:\(\sin(15°) =\frac{1}{2}\sqrt{2 – \sqrt{3}}\)

Pertanto, il valore esatto di sin15° è \(\frac{1}{2}\sqrt{2 – \sqrt{3}}\) .

Riferimento rapido al quadrante per la determinazione dei segni

• QuadranteI:tutte le funzioni sono positive.
• QuadranteII:seno e cosecante sono positivi.
• QuadranteIII:tangente e cotangente sono positivi.
• QuadranteIV:coseno e secante sono positivi.

Seguendo questi passaggi, puoi applicare con sicurezza le identità di semiangolo a qualsiasi problema trigonometrico, sia che tu stia semplificando un'espressione o cercando un valore esatto.