Una foto vale 1, 000 parole, dice il proverbio, ma un gruppo di scienziati di Harvard spera che possa valere lo stesso numero di equazioni.

Le leggi pittoriche sembrano unificare idee da disparate, saperi interdisciplinari, collegandoli magnificamente come elementi di un dipinto di da Vinci. Il gruppo sta lavorando per espandere il linguaggio matematico pittorico delineato per la prima volta lo scorso anno da Arthur Jaffe, il professore di matematica e scienze teoriche Landon T. Clay, e il borsista postdottorato Zhengwei Liu.

"C'è una parola che puoi togliere da questo:eccitazione, " disse Jaffe. "E questo perché non stiamo solo cercando di risolvere un problema qua o là, ma stiamo cercando di sviluppare un nuovo modo di pensare la matematica, attraverso lo sviluppo e l'utilizzo di diversi linguaggi matematici basati su immagini in due, tre, e più dimensioni."

L'anno scorso hanno creato un linguaggio 3D chiamato quon, che hanno usato per comprendere i concetti relativi alla teoria dell'informazione quantistica. Ora, una nuova ricerca ha offerto accenni allettanti che quon potrebbe offrire spunti su una miriade di altre aree della matematica, dall'algebra all'analisi di Fourier, così come nella fisica teorica, dalla fisica statistica alla teoria delle stringhe. I ricercatori descrivono la loro visione del progetto in un articolo apparso il 2 gennaio sulla rivista Atti dell'Accademia Nazionale delle Scienze .

"C'è stata una grande evoluzione in questo lavoro nell'ultimo anno, e pensiamo che questa sia la punta dell'iceberg, " ha detto Jaffe. "Abbiamo scoperto che le idee che abbiamo usato per l'informazione quantistica sono rilevanti per uno spettro molto più ampio di argomenti. Siamo molto grati di aver ricevuto una sovvenzione dal Templeton Religion Trust che ci ha permesso di riunire un team di ricercatori la scorsa estate per portare avanti questo progetto, compresi gli studenti universitari, studenti laureati, e postdoc, nonché collaboratori senior presso altre istituzioni."

Il core team coinvolge illustri matematici come Adrian Ocneanu, un visiting professor quest'anno ad Harvard, Vaughan Jones, e Alina Vdovina. Tanto importanti sono le stelle nascenti che sono venute ad Harvard da tutto il mondo, tra cui Jinsong Wu dell'Harbin Institute of Technology e William Norledge, un neolaureato presso l'Università di Newcastle. Coinvolti anche studenti come Alex Wozniakowski, uno dei membri originali del progetto e ora studente alla Nanyang Technological University di Singapore, gli studenti laureati in visita Kaifeng Bu della Zhejiang University di Hangzhou, Cina, Weichen Gu e Boqing Xue dell'Accademia cinese delle scienze di Pechino, Sruthi Narayanan, studentessa di Harvard, e Chase Bendarz, uno studente universitario alla Northwestern University e ad Harvard.

Mentre le immagini sono state usate in matematica fin dai tempi antichi, Jaffe e colleghi ritengono che l'approccio del team, che comporta l'applicazione di immagini alla matematica in generale e l'utilizzo di immagini per esplorare le connessioni tra la matematica e materie come la fisica e le scienze cognitive, può segnare l'emergere di un nuovo campo.

Tra i tipi di problemi che il team è già stato in grado di risolvere, Liu ha detto, è un modo pittorico di pensare all'analisi di Fourier.

"Abbiamo sviluppato questo, motivato da diverse idee di Ocneanu, " disse. "Subito, l'abbiamo usato per fornire nuove informazioni sull'informazione quantistica. Ma abbiamo anche scoperto che potremmo dimostrare un'identità algebrica elaborata per i simboli di formula 6j, " uno strumento standard nella teoria della rappresentazione, in fisica teorica, e in chimica.

Quell'identità era stata trovata in un caso elementare, ma il matematico di Harvard Shamil Shakirov ipotizzò che fosse vero in una forma generale. Il gruppo ha ora pubblicato una prova su arXiv.org che è in fase di revisione per la pubblicazione nel corso dell'anno. Un'altra famiglia di identità molto generale che il gruppo ha compreso semplicemente usando la trasformata geometrica di Fourier è nota come formule di fusione di Verlinde.

"Guardando l'analisi matematica delle immagini, abbiamo anche trovato alcune nuove disuguaglianze davvero inaspettate. Generalizzano i famosi principi di indeterminazione di [Werner] Heisenberg e di [G.H.] Hardy e diventano parti di una storia più ampia, " Liu ha detto. "Quindi la matematica dei linguaggi delle immagini stessi è piuttosto interessante da capire. Vediamo poi le loro implicazioni su altri argomenti".

"Sono molto preso da questo progetto, perché prima di questo, Stavo lavorando sull'informazione quantistica, ma l'unico modo che conoscevo per farlo era usare l'algebra lineare, " disse Bu. "Ma lavorando con Arthur e Zhengwei, siamo stati in grado di utilizzare questo linguaggio pittorico per derivare nuove idee e strumenti geometrici che possiamo utilizzare per sviluppare nuovi protocolli quantistici. Sono già stati utili, e prevediamo che queste idee potrebbero avere applicazioni ad ampio raggio in futuro.

"È fantastico, Penso, che possiamo usare un semplice linguaggio pittorico per descrivere equazioni algebriche molto complicate, "Bu ha continuato. "Penso che questo non sia solo un nuovo approccio, ma un nuovo campo per la matematica."

Ocneanu intervenne, "In definitiva, ciò che fa il linguaggio delle immagini a più dimensioni è tradurre la struttura dello spazio in matematica in modo naturale".

Considerando che tradizionale, l'algebra lineare appiattisce i concetti 3D in una singola riga di equazioni, Egli ha detto, il linguaggio delle immagini consente agli scienziati di utilizzare spazi tridimensionali e di dimensioni superiori per tradurre il mondo che li circonda.

"Spazio, o più in generale spazio-tempo, è una specie di macchina computazionale, " disse Ocneanu. "Dovremmo davvero tradurre ciò che sta facendo lo spazio nel tipo di cose che usano i matematici, così possiamo leggere la struttura dello spazio."

Per Norledge, il nuovo linguaggio matematico colpisce per il modo in cui costruisce da una manciata di concetti relativamente semplici in una teoria complessa.

"Il mio background è nella teoria della rappresentazione; la mia tesi è in quest'area della matematica chiamata teoria dei gruppi geometrici, " ha detto. "Quindi con uno sfondo di utilizzo di immagini e oggetti geometrici, aiuta ad applicare la matematica in questo modo. Stiamo ancora cercando di realizzare questo, ma se tutto questo va a buon fine, hai una bellissima area della matematica dove inizi con pochi assiomi, e proprio da quell'inizio puoi generalizzare questa teoria altamente non banale con questa bellissima struttura."

"Speriamo che alla fine si possano implementare le idee che stiamo studiando in nuovi modelli teorico-fisici, oltre che in termini pratici, " disse Jaffe. "Per condividere la nostra eccitazione, dai un'occhiata al nostro sito web."