In matematica, nessun ricercatore lavora in vero isolamento. Anche chi lavora da solo usa i teoremi ei metodi dei colleghi e dei predecessori per sviluppare nuove idee.

Ma quando una tecnica nota è troppo difficile da usare nella pratica, i matematici possono trascurare problemi importanti – e altrimenti risolvibili.

Recentemente, Mi sono unito a diversi matematici in un progetto per rendere più facile l'uso di una di queste tecniche. Abbiamo prodotto un pacchetto per computer per risolvere un problema chiamato "equazione dell'unità S, " con la speranza che i teorici dei numeri di ogni tipo possano attaccare più facilmente un'ampia varietà di problemi irrisolti in matematica.

Equazioni diofantee

Nel suo testo "Arithmetica, " il matematico Diofanto osservava le equazioni algebriche le cui soluzioni devono essere numeri interi. Si dà il caso che questi problemi hanno molto a che fare sia con la teoria dei numeri che con la geometria, e da allora i matematici li studiano.

Perché aggiungere questa restrizione alle sole soluzioni a numero intero? Qualche volta, le ragioni sono pratiche; non ha senso allevare 13,7 pecore o comprare -1,66 auto. Inoltre, i matematici sono attratti da questi problemi, ora chiamate equazioni diofantee. Il fascino deriva dalla loro sorprendente difficoltà, e la loro capacità di rivelare verità fondamentali sulla natura della matematica.

Infatti, i matematici sono spesso disinteressati alle soluzioni specifiche di un particolare problema diofanteo. Ma quando i matematici sviluppano nuove tecniche, la loro potenza può essere dimostrata risolvendo equazioni diofantee precedentemente irrisolte.

La dimostrazione di Andrew Wiles dell'Ultimo Teorema di Fermat è un famoso esempio. Pierre de Fermat ha affermato nel 1637 - a margine di una copia di "Arithmetica, "non meno - per aver risolto l'equazione diofantea xⁿ + yⁿ =zⁿ, ma non offriva alcuna giustificazione. Quando Wiles lo dimostrò più di 300 anni dopo, i matematici se ne accorsero subito. Se Wiles avesse sviluppato una nuova idea che potesse risolvere Fermat, allora cos'altro potrebbe fare quell'idea? I teorici dei numeri si sono affrettati a comprendere i metodi di Wiles, generalizzandoli e trovando nuove conseguenze.

Non esiste un metodo unico che possa risolvere tutte le equazioni diofantee. Anziché, i matematici coltivano varie tecniche, ciascuno adatto a certi tipi di problemi diofantei ma non ad altri. Quindi i matematici classificano questi problemi in base alle loro caratteristiche o complessità, proprio come i biologi potrebbero classificare le specie in base alla tassonomia.

Classificazione più fine

Questa classificazione produce specialisti, poiché diversi teorici dei numeri si specializzano nelle tecniche relative a diverse famiglie di problemi diofantei, come curve ellittiche, forme binarie o equazioni di Thue-Mahler.

All'interno di ogni famiglia, la classificazione più fine viene personalizzata. I matematici sviluppano invarianti – certe combinazioni dei coefficienti che compaiono nell'equazione – che distinguono equazioni diverse nella stessa famiglia. Il calcolo di questi invarianti per un'equazione specifica è facile. Però, le connessioni più profonde con altre aree della matematica comportano domande più ambiziose, come:"Esistono curve ellittiche con invariante 13?" o "Quante forme binarie hanno l'invariante 27?"

L'equazione dell'unità S può essere utilizzata per risolvere molte di queste domande più grandi. La S si riferisce a un elenco di numeri primi, come {2, 3, 7}, relativo alla domanda specifica. Un'unità S è una frazione il cui numeratore e denominatore sono formati moltiplicando solo i numeri dell'elenco. Quindi in questo caso, 3/7 e 14/9 sono unità S, ma 6/5 non lo è.

L'equazione dell'unità S è ingannevolmente semplice da affermare:trova tutte le coppie di unità S che si sommano a 1. Trovando alcune soluzioni, come (3/7, 4/7), si può fare con carta e penna. Ma la parola chiave è "tutto, " ed è questo che rende difficile il problema, sia teoricamente che computazionalmente. Come puoi essere sicuro che ogni soluzione sia stata trovata?

In linea di principio, i matematici hanno saputo risolvere l'equazione dell'unità S per diversi anni. Però, il processo è così contorto che nessuno potrebbe mai effettivamente risolvere l'equazione a mano, e pochi casi sono stati risolti. Questo è frustrante, perché molti problemi interessanti sono già stati ridotti a "solo" risolvere qualche particolare equazione dell'unità S.

Come funziona il risolutore

Le circostanze stanno cambiando, però. Dal 2017, sei teorici dei numeri in tutto il Nord America, me compreso, hanno creato un risolutore di equazioni in unità S per il software matematico open source SageMath. Il 3 marzo, abbiamo annunciato il completamento del progetto. Per illustrare la sua applicazione, abbiamo utilizzato il software per risolvere diversi problemi diofantei aperti.

La difficoltà principale dell'equazione dell'unità S è che mentre esisterà solo una manciata di soluzioni, ci sono infinite unità S che potrebbero far parte di una soluzione. Combinando un celebre teorema di Alan Baker e una delicata tecnica algoritmica di Benne de Weger, il risolutore elimina la maggior parte delle unità S dalla considerazione. Anche a questo punto, potrebbero esserci miliardi di unità S – o più – rimaste da controllare; il programma ora cerca di rendere la ricerca finale il più efficiente possibile.

Questo approccio all'equazione dell'unità S è noto da oltre 20 anni, ma è stato usato solo con parsimonia, perché i calcoli coinvolti sono complicati e richiedono tempo. In precedenza, se un matematico incontrasse un'equazione dell'unità S che voleva risolvere, non c'era un modo automatizzato per risolverlo. Avrebbe dovuto seguire attentamente il lavoro di Baker, de Weger e altri, quindi scrivere il proprio programma per computer per eseguire i calcoli. L'esecuzione del programma potrebbe richiedere ore, giorni o addirittura settimane per il completamento dei calcoli.

La nostra speranza è che il software aiuti i matematici a risolvere importanti problemi nella teoria dei numeri e a migliorare la loro comprensione della natura, bellezza ed efficacia della matematica.

Questo articolo è stato ripubblicato da The Conversation con una licenza Creative Commons. Leggi l'articolo originale.