Un matematico dell'Università RUDN (Russia) e un collega hanno determinato le condizioni per la stabilizzazione delle disuguaglianze differenziali di ordine elevato. Questo risultato consentirà ai matematici di ottenere restrizioni sulle soluzioni di equazioni che descrivono alcuni processi fisici, quali processi di diffusione e processi di convezione. Il documento è pubblicato sulla rivista Analisi asintotica .

L'interesse per le disuguaglianze differenziali nasce da un gran numero di problemi di modellazione matematica nelle scienze naturali, così come nella risoluzione di problemi tecnici e fisici. Spesso è necessario definire più funzioni relative a più disuguaglianze differenziali. È necessario avere lo stesso numero di disuguaglianze per farlo. Se ciascuna di queste disuguaglianze è differenziale, questo è, ha la forma di una relazione che collega funzioni incognite e loro derivate, questo è un sistema di disuguaglianze differenziali. I sistemi di disequazioni differenziali descrivono processi fisici reali con un certo grado di accuratezza (ad esempio, dispositivi che registrano fenomeni fisici non sono perfetti e presentano alcuni errori). Potrebbe risultare che un piccolo errore nei dati iniziali causi cambiamenti significativi nella soluzione della disuguaglianza. Perciò, è importante porre dei limiti alle soluzioni delle equazioni differenziali.

Andrey Shishkov di S.M. Nikol'skii Mathematical Institute dell'Università RUDN e Andrej Kon'kov dell'Università statale di Mosca hanno ottenuto il risultato, che generalizza la classica condizione di Keller-Osserman per le equazioni differenziali. Il teorema di Keller-Osserman contiene condizioni per l'assenza di soluzioni positive per disuguaglianze ellittiche non lineari del secondo ordine. Questo teorema serve come base per studi sull'assenza di soluzioni per equazioni e disuguaglianze. Inoltre, per operatori differenziali di ordine elevato, tutti gli studi precedentemente noti erano limitati al caso della non linearità di potenza. Il caso di non linearità arbitraria è stato studiato solo per operatori del secondo ordine. I matematici hanno studiato le disuguaglianze differenziali di ordini superiori e il loro risultato si applica a un'ampia classe di problemi:equazioni del secondo e terzo ordine.

I risultati possono essere applicati sia alle disuguaglianze paraboliche che alle cosiddette anti-paraboliche. Le equazioni paraboliche sono molto diffuse in fisica:includono equazioni che descrivono i processi di convezione, la diffusione e il suo caso particolare:l'equazione della conduzione del calore; il sistema di equazioni di Navier-Stokes che descrivono il moto di liquidi e gas è un sistema di equazioni paraboliche con vincoli divergenti.

Le domande sono state precedentemente studiate principalmente per operatori differenziali del secondo ordine, e il caso degli operatori di ordine superiore è molto meno studiato. I matematici hanno ricercato le disuguaglianze differenziali di ordine superiore e ottenuto condizioni di stabilizzazione sufficienti per le cosiddette soluzioni deboli delle disuguaglianze differenziali. Allo stesso tempo, le condizioni iniziali non sono stipulate sulle soluzioni della disuguaglianza differenziale studiata. Gli autori inoltre non stipulano condizioni di ellitticità sui coefficienti dell'operatore differenziale.