I frattali - modelli che si ripetono su scale più piccole - possono essere visti frequentemente in natura, come nei fiocchi di neve. Credito:Unsplash.
La matematica è visibile ovunque in natura, anche dove non ce lo aspettiamo. Può aiutare a spiegare il modo in cui le galassie si muovono a spirale, una conchiglia si curva, i modelli si replicano, e i fiumi si piegano.
Anche le emozioni soggettive, come quello che troviamo bello, può avere spiegazioni matematiche.
"La matematica non è solo vista come bella, la bellezza è anche matematica, "dice il dottor Thomas Britz, un docente presso la School of Mathematics &Statistics dell'UNSW Science. "I due sono intrecciati".
Il Dr. Britz lavora in combinatoria, un campo incentrato sul conteggio complesso e sulla risoluzione di enigmi. Mentre la combinatoria si trova all'interno della matematica pura, Il Dr. Britz è sempre stato attratto dalle questioni filosofiche sulla matematica.
Trova anche la bellezza nel processo matematico.
"Da un punto di vista personale, la matematica è davvero divertente da fare. L'ho adorato sin da quando ero un ragazzino.
"Qualche volta, la bellezza e il divertimento della matematica sono nei concetti, o nei risultati, o nelle spiegazioni. Altri tempi, sono i processi mentali che fanno girare la tua mente in modi piacevoli, le emozioni che provi, o semplicemente lavorando nel flusso, come perdersi in un buon libro."
Qui, Il dottor Britz condivide alcune delle sue connessioni preferite tra matematica e bellezza.
1. Simmetria, ma con un tocco di sorpresa
La simmetria è ovunque guardi. Credito:Unsplash
Nel 2018, Il Dr. Britz ha tenuto una conferenza TEDx sulla matematica delle emozioni, dove ha usato studi recenti su matematica ed emozioni per toccare come la matematica potrebbe aiutare a spiegare le emozioni, come la bellezza.
"Il nostro cervello ci ricompensa quando riconosciamo schemi, se questo è vedere la simmetria, organizzare parti di un tutto, o risolvere enigmi, " lui dice.
"Quando individuiamo qualcosa che si discosta da uno schema, quando c'è un tocco di inaspettato, il nostro cervello ci ricompensa ancora una volta. Proviamo gioia ed eccitazione".
Per esempio, gli umani percepiscono come belli i volti simmetrici. Però, una caratteristica che rompe la simmetria in un piccolo, modo interessante o sorprendente, come un punto di bellezza, aggiunge alla bellezza.
"Questa stessa idea può essere vista nella musica, " dice il Dr. Britz. "Suoni modellati e ordinati con un tocco di inaspettato possono aggiungere personalità, fascino e profondità."
Molti concetti matematici mostrano un'armonia simile tra schema e sorpresa, eleganza e caos, verità e mistero.
"L'intreccio di matematica e bellezza è di per sé bello per me, " dice il dottor Britz.
Ogni fronda di una felce spara versioni più piccole di se stesse. Qualche volta, il motivo a fronde può essere visto anche nelle foglie. Credito:Shutterstock
2. Frattali:infiniti e spettrali
I frattali sono schemi autoreferenziali che si ripetono, di qualche grado, su scale più piccole. Più guardi da vicino, più ripetizioni vedrai, come le fronde e le foglie di una felce.
"Questi schemi ripetuti sono ovunque in natura, "dice il dottor Britz. "Nei fiocchi di neve, reti fluviali, fiori, alberi, fulmini, anche nei nostri vasi sanguigni."
I frattali in natura possono spesso replicarsi solo in più strati, ma i frattali teorici possono essere infiniti. Molte simulazioni generate al computer sono state create come modelli di infiniti frattali.
"Puoi continuare a concentrarti su un frattale, ma non arriverai mai alla fine, " dice il dottor Britz.
"I frattali sono infinitamente profondi. Sono anche infinitamente spettrali.
"Potresti avere un'intera pagina piena di frattali, ma l'area totale che hai disegnato è ancora zero, perché è solo un mucchio di linee infinite."
L'insieme di Mandelbrot è probabilmente il più famoso frattale generato dal computer. Lo zoom in avanti rivelerà la stessa identica immagine su scala ridotta:un ciclo infinito vertiginoso e ipnotico. Credito:Shutterstock
3. Pi:una verità inconoscibile
Pi (o 'π') è un numero spesso appreso per la prima volta nella geometria delle scuole superiori. In termini più semplici, è un numero leggermente superiore a 3.
Pi è principalmente usato quando si tratta di cerchi, come calcolare la circonferenza di un cerchio usando solo il suo diametro. La regola è che, per ogni cerchio, la distanza attorno al bordo è circa 3,14 volte la distanza attraverso il centro del cerchio.
Ma Pi è molto più di questo.
"Quando esamini altri aspetti della natura, troverai improvvisamente Pi ovunque, " dice il Dr. Britz. "Non solo è legato ad ogni cerchio, ma Pi a volte compare in formule che non hanno nulla a che fare con i cerchi, come in probabilità e calcolo."
Nonostante sia il numero più famoso (International Pi Day si tiene ogni anno il 14 marzo, 3.14 negli appuntamenti americani), c'è molto mistero intorno.
"Sappiamo molto di Pi, ma in realtà non sappiamo nulla di Pi, " dice il dottor Britz.
"C'è una bellezza in questo:una bella dicotomia o tensione".
Pi è legato all'oceano e alle onde sonore attraverso la serie di Fourier, una formula usata nei ritmi e nei cicli. Credito:Unsplash
Pi è infinito e, per definizione, inconoscibile. Nessun modello è stato ancora identificato nei suoi punti decimali. Resta inteso che qualsiasi combinazione di numeri, come il tuo numero di telefono o il tuo compleanno, apparirà in Pi da qualche parte (puoi cercarlo tramite uno strumento di ricerca online dei primi 200 milioni di cifre).
Attualmente conosciamo 50 trilioni di cifre di Pi, un record battuto all'inizio di quest'anno. Ma, poiché non possiamo calcolare il valore esatto di Pi, non possiamo mai calcolare completamente la circonferenza o l'area di un cerchio, anche se possiamo avvicinarci.
"Cosa sta succedendo qui?" dice il dottor Britz. "Cosa c'è in questo strano numero che in qualche modo lega insieme tutti i circoli del mondo?
"C'è una verità di fondo in Pi, ma non lo capiamo. Questa mistica rende tutto ancora più bello."
4. Un rapporto aureo e antico
Il rapporto aureo (o 'ϕ') è forse il teorema matematico più popolare per la bellezza. È considerato il modo esteticamente più gradevole di proporzionare un oggetto.
Il rapporto può essere ridotto, all'incirca, a 1.618. Quando presentato geometricamente, il rapporto crea il Rettangolo Aureo o la Spirale Aurea.
"Attraverso la storia, il rapporto è stato trattato come un punto di riferimento per la forma ideale, sia in architettura, opera d'arte, o il corpo umano, " dice il dottor Britz. "Si chiamava la "proporzione divina".
La spirale d'oro viene spesso utilizzata in fotografia per aiutare i fotografi a inquadrare l'immagine in modo esteticamente gradevole. Credito:Shutterstock
"Molte opere famose, compresi quelli di Leonardo da Vinci, si basavano su questo rapporto."
La spirale d'oro è spesso usata oggi, soprattutto nell'arte, disegno e fotografia. Il centro della spirale può aiutare gli artisti a inquadrare i punti focali dell'immagine in modi esteticamente gradevoli.
5. Un paradosso più vicino alla magia
La natura inconoscibile della matematica può farla sembrare più vicina alla magia.
Un famoso teorema geometrico chiamato paradosso di Banach-Tarski dice che se hai una palla nello spazio 3D e la dividi in pochi pezzi specifici, c'è un modo per rimontare le parti in modo da creare due palline.
"Questo è già interessante, ma diventa ancora più strano, " dice il dottor Britz.
"Quando vengono create le due nuove palle, avranno entrambe le stesse dimensioni della prima palla".
Matematicamente parlando, questo teorema funziona:è possibile rimontare i pezzi in modo da raddoppiare le palline.
Duplicare le palle è impossibile, giusto? Credito:Unsplash
"Non puoi farlo nella vita reale, " dice il dottor Britz. "Ma puoi farlo matematicamente.
"Questa è una specie di magia. Questa è magia."
frattali, il paradosso Banach-Tarski e Pi sono solo la superficie dei concetti matematici in cui trova bellezza.
"Per sperimentare molte parti belle della matematica, hai bisogno di molte conoscenze di base, " dice il Dr. Britz. "Hai bisogno di un sacco di formazione di base e spesso molto noiosa. È un po' come fare un milione di flessioni prima di praticare uno sport.
"Ma ne vale la pena. Spero che più persone arrivino al divertimento della matematica. C'è così tanta più bellezza da scoprire."
