Mentre la maggior parte dei paesi del mondo fa affidamento sul debito per finanziare il proprio governo e la propria economia, tenere sotto controllo questo debito è un imperativo finanziario. Il grande debito pubblico ha un impatto negativo sulla crescita economica a lungo termine. L'aumento del debito di una nazione si traduce in minori investimenti privati, che porta a una diminuzione della crescita e dei salari a lungo termine. Un'elevata quantità di debito può essere dannosa anche in assenza di una crisi finanziaria.

"C'è un grande dibattito nella comunità economica e politica sulla sostenibilità del debito pubblico, " osserva Giorgio Ferrari, un professore di finanza matematica presso l'Universität Bielefeld in Germania, e ricercatore principale nel Collaborative Research Center 1283 dell'università. "Utilizzando diversi approcci statistici e metodologici, molti ricercatori concludono che l'elevato debito pubblico ha un effetto negativo sulla crescita economica a lungo termine, rende l'economia meno resistente agli shock macroeconomici, e pone limiti all'adozione di politiche fiscali anticicliche".

Il rapporto debito/prodotto interno lordo (PIL) è un indicatore importante della leva finanziaria di un'economia. "Durante l'ultima crisi finanziaria, il rapporto debito/PIL, chiamato anche rapporto debito/PIL, è esploso in molti paesi, "dice Ferrari, che propone un modello matematico per il controllo di questo rapporto in un articolo da pubblicare la prossima settimana nel SIAM Journal su Controllo e Ottimizzazione .

Per minimizzare il costo totale atteso del debito e attuare interventi sul rapporto debito/PIL, i governi scelgono adeguate politiche di riduzione del debito, anche se questi non sono sempre progettati per la massima efficienza.

"Non è chiaro se i governi pianifichino le loro politiche di riduzione del debito secondo un criterio di ottimizzazione, come la massimizzazione del benessere sociale o la minimizzazione dei costi sociali, " dice Ferrari. "In questo senso, la modellizzazione matematica può fornire una base teorica per tali scelte, e potrebbe fornire spunti sulle politiche da seguire".

Ferrari modella il problema come un problema di controllo stocastico singolare continuo, e cerca di rispondere alla domanda, "Quanto è troppo? - come in, a quale livello di debito aiuta il governo a ripagare senza incidere sulla crescita? Per molte nazioni sviluppate, il cui rapporto debito/PIL è lontano dal rischio di insolvenza, il costo dell'aumento delle tasse o della riduzione della spesa per diminuire il debito può superare qualsiasi beneficio.

"Nel mio modello, i governi affrontano due costi opposti, " spiega Ferrari. "Da un lato, mirano a ridurre al minimo il costo opportunità totale atteso dovuto al debito. Ciò può risultare, ad esempio, dall'investimento privato che spiazza gli investimenti pubblici, lasciando meno spazio alle iniziative pubbliche, e da una tendenza a subire una bassa crescita successiva. D'altra parte, riducendo il debito attraverso, dire, politiche fiscali, il governo sostiene un costo proporzionale all'ampiezza della sua azione. È importante che i governi controbilancino adeguatamente questi due costi, e un tale problema può essere modellato matematicamente attraverso un cosiddetto problema di controllo stocastico singolare."

Mentre un rapporto debito/PIL elevato può limitare il progresso economico aumentando l'onere del debito, le strategie di intervento del governo comportano anche sanzioni proporzionali all'entità della mitigazione del debito. Pertanto, l'obiettivo ideale è scegliere una politica di riduzione del debito cumulativo che limiti il ​​costo totale atteso dell'onere del debito e il costo complessivo degli interventi.

"La necessità di un governo di controbilanciare il costo del debito e di ridurlo suggerisce che dovrebbe seguire una strategia di soglia, ovvero, dovrebbe intervenire in modo da ridurre il rapporto debito/PIL solo quando quest'ultimo è sufficientemente ampio, " precisa Ferrari. "Nel mio modello, nella sua pianificazione, il governo tiene conto anche dell'attuale livello di inflazione nel paese, che non è sotto il controllo del governo, ma gestito da una banca centrale autonoma. Di conseguenza, il livello critico al quale il governo dovrebbe agire per arrestare la crescita del debito pubblico è dipendente dall'inflazione, e questa soglia ottimale è determinata endogenamente come parte della soluzione del problema."

Supponendo che il governo possa ridurre il livello del debito rispetto al PIL con determinate misure, come l'aumento delle tasse o la riduzione delle spese, il gruppo di Ferrari interpreta gli interventi collettivi sul rapporto debito/PIL come variabile di controllo del governo. L'incertezza nel modello viene introdotta tramite l'inflazione di un dato paese.

"Chiaramente, in realtà, nella gestione del debito pubblico, il governo dovrebbe considerare anche variabili macroeconomiche diverse dall'inflazione, ad esempio, tassi di interesse, tasso di crescita del PIL, e tassi di cambio, " dice Ferrari. "Tuttavia, per avere un problema matematico trattabile, Ho deciso di concentrarmi solo sul ruolo dell'inflazione nel problema di riduzione del debito affrontato dal governo".

Ferrari mostra che è ottimale per un governo adottare politiche che mantengano il rapporto debito/PIL sotto un tetto dipendente dall'inflazione.

Nel suo lavoro dimostra che la soluzione del problema del controllo è correlata a quella di un problema di arresto ottimale ausiliario sviluppato in termini di costo marginale di avere debito e costo marginale di intervento sul rapporto debito/PIL. Nel problema di arresto ottimale, il governo determina il momento ottimale per ridurre il livello del rapporto debito/PIL di un'unità aggiuntiva con l'obiettivo di minimizzare il relativo costo marginale totale atteso. Risolvere il problema di arresto ottimale può quindi risolvere efficacemente il problema di controllo.

Il lavoro futuro prevede approcci per alleviare il debito con dati limitati e fattori al di fuori del controllo del governo.

"Con i collaboratori, il mio gruppo di ricerca presso il Center for Mathematical Economics dell'Università di Bielefeld sta attualmente cercando di indagare su come le questioni strategiche possano entrare in scena, come un governo può ridurre in modo ottimale il rapporto debito/PIL quando dispone solo di informazioni parziali sulle quantità macroeconomiche coinvolte, o può aumentare o diminuire in modo ottimale il livello del debito quando il tasso di interesse sul debito è stocastico ed è influenzato da shock economici che non sono sotto il suo controllo".

I modelli matematici progettati per rappresentare situazioni finanziarie del mondo reale possono essere sia matematicamente affascinanti che straordinariamente pratici.

"Trovo problemi di gestione ottimale delle quantità macroeconomiche, come il debito pubblico, inflazione, o tassi di cambio, molto interessanti sia dal punto di vista della vita quotidiana sia da un punto di vista matematico, " dice Ferrari. "Portano a problemi matematici molto impegnativi in ​​cui bisogna considerare l'interazione tra più variabili, comprese le grandezze macroeconomiche e finanziarie e molteplici agenti, come il governo, banche centrali, e agenti finanziari. Credo che ci sia ancora molto da fare nell'analisi/modellazione matematica di tali problemi".