Un'espressione raster di una regione o di una delle sue proprietà ecoambientali può essere astratta in una superficie matematica. La superficie matematica è definita in modo univoco dalle proprietà intrinseche ed estrinseche in termini del teorema fondamentale delle superfici. Le proprietà intrinseche possono essere raccolte da informazioni locali, che potrebbe provenire da osservazioni dettagliate del suolo e da campionamenti spaziali. Le proprietà estrinseche possono essere raccolte dalle osservazioni satellitari e dai risultati di simulazione di modelli spaziali su larga scala. L'urgenza e la necessità di integrare le proprietà estrinseche e intrinseche sono state discusse a varie scale

La modellazione di superficie è un processo di costruzione di un modello di superficie per descrivere dinamicamente un sistema di superficie terrestre o un componente specifico dell'ambiente di superficie terrestre. A partire dagli anni '50 sono stati sviluppati vari metodi per la modellazione delle superfici. Includono la suite Kriging di metodi geostatistici, funzione spline, rete triangolare irregolare e ponderazione della distanza inversa, per i quali i problemi di errore e di scala sono sfide a lungo termine.

Per trovare soluzioni all'errore e ai problemi multiscala, un metodo per la modellazione di superfici ad alta precisione (HASM) è stato sviluppato dal 1986, che integra le proprietà estrinseche e intrinseche. La necessità di combinare informazioni estrinseche con informazioni intrinseche è un argomento frequentemente discusso nella modellazione eco-ambientale delle superfici. Ad esempio, l'osservazione del suolo può ottenere dati di alta precisione nei punti di osservazione, ma le osservazioni a posizioni fisse sono confinate entro alcuni punti di dispersione limitati. Il telerilevamento satellitare può spesso fornire informazioni di superficie sui processi eco-ambientali, ma la descrizione del telerilevamento non è in grado di ottenere direttamente i parametri di processo. Le osservazioni satellitari e terrestri forniscono due diversi tipi di informazioni sulla superficie terrestre. I modelli globali e le osservazioni del suolo forniscono informazioni abbondanti, ma nessuno dei due fornisce il quadro completo. Un modello globale, essere il più preciso possibile, devono integrare le informazioni tratte dalle osservazioni al suolo attualmente disponibili.

Sebbene HASM abbia risolto l'errore e i problemi multi-scala, può essere utilizzato solo con piccole aree perché deve utilizzare l'equazione principale impostata per simulare ogni reticolo di una superficie, che comporta un enorme costo di calcolo. Per velocizzare il calcolo di HASM, gli autori hanno sviluppato un metodo multi-grid di HASM (HASM-MG), un metodo adattivo di HASM (HASM-AM), un calcolo di adeguamento di HASM (HASM-AC), e un algoritmo a gradiente coniugato precondizionato di HASM (HASM-PCG). Questi algoritmi hanno risolto i problemi relativi alla bassa velocità di calcolo e ai grandi requisiti di memoria.

HASM è stato applicato con successo per la costruzione di modelli digitali di elevazione, riempire i vuoti nel set di dati Shuttle Radar Topography Mission (SRTM), simulare il cambiamento climatico, stimare gli stock di carbonio, fondendo le osservazioni satellitari e le misurazioni del Total Carbon Column Observing Network (TCCON) della frazione molare di CO nell'aria secca media nella colonna ₂ (XCO ₂₎ , riempire i vuoti su superfici XCO2 telerilevate, modellazione delle proprietà del suolo superficiale e dell'inquinamento del suolo, e analizzare le risposte dell'ecosistema al cambiamento climatico. In tutte queste applicazioni, HASM ha prodotto risultati più accurati rispetto ai metodi classici.

Il teorema fondamentale per la modellazione del sistema della superficie terrestre (FTESM) è stato proposto sulla base dello sviluppo dei metodi HASM e delle loro applicazioni di successo. FTESm si basa su una combinazione di teoria delle superfici, teoria dei sistemi, e teoria del controllo ottimo. I corollari FTESM dell'interpolazione spaziale e della fusione dei dati sono stati utilizzati nel Rapporto di valutazione metodologica su scenari e modelli di biodiversità e servizi ecosistemici (IPBES, 2016). Il ruolo di questa valutazione metodologica è definito dalla Plenary of Intergovernmental Science-Policy Platform on Biodiversity and Ecosystem Services (IPBES) come "guida all'uso dell'analisi di scenario e della modellazione in tutto il lavoro nell'ambito dell'IPBES per garantire la rilevanza politica dei suoi risultati". Il FTSM era, a sua volta, cui fa riferimento il Global Assessment Report on Biodiversity and Ecosystem Services (IPBES, 2019).

Però, la terminologia utilizzata dall'FTESM non corrisponde al sistema concettuale di IPBES. Così, è stato sviluppato un teorema fondamentale per la modellazione eco-ambientale delle superfici (FTEEM) per la modellazione eco-ambientale delle superfici, da cui sono stati dedotti diversi corollari, corrispondente all'interpolazione spaziale, upscaling spaziale, ridimensionamento spaziale, fusione dei dati e assimilazione dei dati del modello, rispettivamente. Le superfici eco-ambientali comprendono superfici della natura, superfici dei contributi della natura alle persone, e superfici delle forze motrici dei cambiamenti naturali. La natura include la biodiversità e gli ecosistemi, nonché il sistema terrestre. Il contributo della natura alle persone consiste nei servizi ecosistemici e nei doni della natura. Le forze trainanti del cambiamento della natura sono state classificate in forze trainanti dirette e forze trainanti indirette. FTEEM e FTES hanno lo stesso significato rispetto alla teoria sottostante, ma i termini significano che questo può essere facilmente compreso da diversi campi di ricerca.

Ex presidente della International Society for Ecological Modeling (ISEM), Perof. Sven Erik Jörgensen, ha dichiarato:"Problemi di errore e problemi di bassa velocità di calcolo sono le due sfide critiche attualmente affrontate dai sistemi informativi geografici (GIS) e dai sistemi di progettazione assistita da computer (CADS). Metodi ad alta precisione e alta velocità per la modellazione di superfici (HASM) fornire soluzioni a questi problemi che hanno a lungo travagliato GIS e CAD". (Jorgensen, 2011)

Ex Presidente dell'Associazione Internazionale di Ecologia, Prof. Wolfgang Haber, pointed out that "All of the findings above described the essential significance of both extrinsic and intrinsic information, but the challenge is how to combine these two kinds of information. FTESM and FTEEM provide a solution to this challenge. FTEEM and FTESM as well as their corollaries for interpolation, upscaling, downscaling, data fusion and model-data assimilation together form the theoretical basis of eco-environmental informatics. I am convinced that the publication of "a fundamental theorem for eco-environmental surface modeling and its applications" (Yue et al., 2020) will serve as a landmark paper in the development of the theoretical underpinnings for a science of eco-environmental informatics moving forward." (Haber, 2020)

"Al meglio delle nostre conoscenze, " wrote the 39 researchers, "this work first represents the fundamental theorem for eco-environmental surface modeling, which is serving as a landmark paper in the development of the theoretical underpinnings for a science of eco-environmental informatics moving forward. "