"Immagina di tenere in mano una ciambella al buio, "Il matematico della Emory University Ken Ono dice. "Non saresti nemmeno in grado di decidere se ha qualche spruzzino. Ma le informazioni nel nostro chiaro di luna O'Nan ci consentono di "vedere" chiaramente le nostre ciambelle matematiche fornendoci una grande quantità di informazioni sui punti sulle curve ellittiche." Credito:Stephen Nowland, Emory University
I matematici hanno aperto un nuovo capitolo nella teoria del chiaro di luna, uno che inizia a sfruttare il potere dei paria - sporadici gruppi semplici che in precedenza non avevano un'applicazione nota.
"Abbiamo trovato una nuova forma di chiaro di luna, che in matematica si riferisce a un'idea così inverosimile da sembrare follia, "dice Ken Ono, un teorico dei numeri alla Emory University. "E abbiamo usato questo chiaro di luna per mostrare l'utilità matematica del gruppo O'Nan paria in un modo che lo sposta dalla teoria alla realtà. Si scopre che il gruppo O'Nan conosce informazioni approfondite sulle curve ellittiche".
Comunicazioni sulla natura pubblicò la teoria della rappresentazione per il gruppo O'Nan sviluppata da Ono, John Duncan (anche un teorico dei numeri presso Emory) e Michael Mertens (ex borsista post-dottorato presso Emory che ora è all'Università di Colonia).
"Abbiamo dimostrato che il gruppo O'Nan, un gruppo di paria molto numeroso, organizza effettivamente le curve ellittiche in modo bello e sistematico, "Duncan dice. "E non solo li organizza, ci permette di vedere alcune delle loro proprietà più profonde. Vede infinite curve, che ci consente quindi di utilizzare il nostro chiaro di luna per fare previsioni sul loro comportamento generale. È importante, perché questi oggetti sono alla base di alcune delle domande più difficili all'orizzonte stesso della teoria dei numeri".
Le curve ellittiche possono sembrare esoteriche, ma fanno parte della nostra quotidianità. Sono utilizzati nella crittografia:la creazione di codici difficili da violare.
Una curva ellittica non è un'ellisse, piuttosto è un toroide complesso, o a forma di ciambella. "Puoi pensarlo come una ciambella insieme a specifici, delicate configurazioni di punti razionali posizionati con molta cura, "Duncan dice. "Allora, nei termini più semplici, è come una ciambella che mangi, che potrebbe avere degli spruzzi sopra. L'intero gioco nella matematica delle curve ellittiche sta nel determinare se la ciambella ha delle codette e, se è così, dove sono posizionati esattamente gli spruzzi."
A differenza di una ciambella commestibile, però, queste ciambelle matematiche non sono visibili.
"Immagina di tenere in mano una ciambella al buio, " Dice Ono. "Non saresti nemmeno in grado di decidere se ha qualche spruzzatina. Ma le informazioni nel nostro chiaro di luna O'Nan ci consentono di "vedere" chiaramente le nostre ciambelle matematiche fornendoci una grande quantità di informazioni sui punti sulle curve ellittiche".
I risultati sono particolarmente sorprendenti poiché nessuno dei paria, come sono noti sei dei semplici gruppi sporadici della matematica, era precedentemente apparso nella teoria del chiaro di luna, o altrove nella scienza.
La teoria originale del chiaro di luna di Math risale a un articolo del 1979 chiamato "Monstrous Moonshine" di John Conway e Simon Norton. L'articolo descriveva una sorprendente connessione tra un enorme oggetto algebrico noto come il gruppo dei mostri e la funzione j, un oggetto chiave nella teoria dei numeri. Nel 2015, un gruppo di matematici - tra cui Duncan e Ono - ha presentato la prova della congettura Umbral Moonshine, che ha rivelato altri 23 chiarori di luna, o misteriose connessioni tra le dimensioni dei gruppi di simmetria ei coefficienti delle funzioni speciali.
In matematica teorica, la simmetria arriva in gruppi. Le soluzioni simmetriche sono generalmente ottimali, poiché ti permettono di dividere un grande problema in parti uguali e risolverlo più velocemente.
Nei termini più semplici, una curva ellittica è una forma a ciambella con punti accuratamente posizionati, spiegano i matematici della Emory University Ken Ono, sinistra, e John Duncan, Giusto. "L'intero gioco nella matematica delle curve ellittiche sta nel determinare se la ciambella ha delle codette e, se è così, dove sono posizionati esattamente gli spruzzi, "Duncan dice. Credito:Stephen Nowland, Emory University
La classificazione degli elementi costitutivi dei gruppi è raccolta nell'ATLAS dei Gruppi Finiti, pubblicato nel 1985. "L'ATLAS è come la versione matematica della tavola periodica degli elementi, ma per la simmetria invece degli atomi, " spiega Duncan.
Sia l'ATLAS che la tavola periodica contengono caratteri bizzarri che possono - o meno - esistere in natura.
Quattro elementi super pesanti con numeri atomici superiori a 100, Per esempio, sono stati scoperti nel 2016 e aggiunti alla tavola periodica. "Le persone devono lavorare sodo per produrre questi elementi negli acceleratori di particelle e svaniscono subito dopo essere stati costruiti, " Dice Ono. "Quindi devi chiederti se fanno davvero parte della nostra chimica quotidiana".
I gruppi paria pongono una domanda simile in matematica. Sono costrutti naturali o semplicemente teorici?
"Il nostro lavoro dimostra, per la prima volta, che un paria è reale, "Ono dice. "Abbiamo trovato il gruppo O'Nan che vive nella natura. Il nostro teorema mostra che è connesso alle curve ellittiche, e ogni volta che trovi una corrispondenza tra due oggetti apparentemente non correlati, apre la porta per saperne di più su quegli oggetti."
