Negli ultimi 150 anni sono stati proposti molti modi per avvicinarsi all'ipotesi di Riemann, ma nessuno di essi ha portato a vincere il più famoso problema aperto della matematica. Un nuovo giornale in Atti dell'Accademia Nazionale delle Scienze ( PNAS ) suggerisce che uno di questi vecchi approcci è più pratico di quanto precedentemente realizzato.

"In una prova sorprendentemente breve, abbiamo dimostrato che un vecchio, l'approccio abbandonato all'ipotesi di Riemann non doveva essere dimenticato, "dice Ken Ono, un teorico dei numeri alla Emory University e co-autore del documento. "Semplicemente formulando una struttura adeguata per un vecchio approccio abbiamo dimostrato alcuni nuovi teoremi, includendo una grossa fetta di un criterio che implica l'ipotesi di Riemann. E il nostro quadro generale apre anche approcci ad altre domande di base senza risposta".

Il documento si basa sul lavoro di Johan Jensen e George Pólya, due dei più importanti matematici del XX secolo. Rivela un metodo per calcolare i polinomi di Jensen-Pólya, una formulazione dell'ipotesi di Riemann, non uno alla volta, ma tutto in una volta.

"La bellezza della nostra prova è la sua semplicità, " Dice Ono. "Non inventiamo nuove tecniche o usiamo nuovi oggetti in matematica, ma forniamo una nuova visione dell'ipotesi di Riemann. Qualsiasi matematico ragionevolmente avanzato può verificare la nostra dimostrazione. Non ci vuole un esperto in teoria dei numeri."

Sebbene l'articolo non riesca a dimostrare l'ipotesi di Riemann, le sue conseguenze includono asserzioni precedentemente aperte che sono note per seguire dall'ipotesi di Riemann, così come alcune prove di congetture in altri campi.

I coautori del documento sono Michael Griffin e Larry Rolen, due degli ex studenti laureati di Ono a Emory che ora fanno parte della facoltà della Brigham Young University e della Vanderbilt University, rispettivamente, e Don Zagier del Max Planck Institute of Mathematics.

"Il risultato qui stabilito può essere visto come un'ulteriore prova verso l'ipotesi di Riemann, e in ogni caso, è un bellissimo teorema autonomo, "dice Kannan Soundararajan, un matematico alla Stanford University ed esperto dell'ipotesi di Riemann.

L'idea del giornale è nata due anni fa da un "problema giocattolo" che Ono ha presentato come un "regalo" per intrattenere Zagier durante la conferenza di matematica per celebrare il suo 65esimo compleanno. Un problema giocattolo è una versione ridotta di un più grande, problema più complicato che i matematici stanno cercando di risolvere.

Zagier ha descritto quello che Ono gli ha dato come "un simpatico problema sul comportamento asintotico di alcuni polinomi che coinvolgono la funzione di partizione di Eulero, che è un vecchio amore mio e di Ken, e di quasi tutti i teorici classici dei numeri."

"Ho trovato il problema intrattabile e non mi aspettavo davvero che Don riuscisse a risolverlo, " Ricorda Ono. "Ma pensava che la sfida fosse super divertente e presto ha trovato una soluzione".

L'intuizione di Ono era che una tale soluzione potesse essere trasformata in una teoria più generale. Questo è ciò che alla fine hanno ottenuto i matematici.

"È stato un progetto divertente su cui lavorare, un processo davvero creativo, " Dice Griffin. "La matematica a livello di ricerca è spesso più arte che calcolo e questo è stato certamente il caso qui. Ci ha richiesto di guardare a un'idea di Jensen e Pólya di quasi 100 anni fa in un modo nuovo".

L'ipotesi di Riemann è uno dei sette problemi del Millennium Prize, identificato dal Clay Mathematics Institute come i più importanti problemi aperti in matematica. Ogni problema comporta una taglia di $ 1 milione per i suoi risolutori.

L'ipotesi ha debuttato in un articolo del 1859 del matematico tedesco Bernhard Riemann. Notò che la distribuzione dei numeri primi è strettamente correlata agli zeri di una funzione analitica, che venne chiamata funzione zeta di Riemann. In termini matematici, l'ipotesi di Riemann è l'affermazione che tutti gli zeri non banali della funzione Zeta hanno parte reale ½.

"La sua ipotesi è un boccone, ma la motivazione di Riemann era semplice, " Dice Ono. "Voleva contare i numeri primi."

L'ipotesi è un veicolo per comprendere uno dei più grandi misteri della teoria dei numeri:lo schema alla base dei numeri primi. Sebbene i numeri primi siano oggetti semplici definiti nella matematica elementare (qualsiasi numero maggiore di 1 senza divisori positivi diversi da 1 e da se stesso) la loro distribuzione rimane nascosta.

Il primo numero primo, 2, è l'unico pari. Il prossimo numero primo è 3, ma i numeri primi non seguono uno schema di ogni terzo numero. Il prossimo è 5, poi 7, poi 11. Mentre continui a contare verso l'alto, i numeri primi diventano rapidamente meno frequenti.

"È risaputo che ci sono infiniti numeri primi, ma diventano rari, anche quando arrivi ai 100, " Spiega Ono. "In effetti, dei primi 100, 000 numeri, solo 9, 592 sono numeri primi, o circa il 9,5 percento. E diventano rapidamente più rari da lì. La probabilità di estrarre un numero a caso e di averlo primo è zero. Non succede quasi mai".

Nel 1927, Jensen e Pólya formularono un criterio per confermare l'ipotesi di Riemann, come un passo per liberare il suo potenziale per chiarire i numeri primi e altri misteri matematici. Il problema con il criterio, che stabilisce l'iperbolicità dei polinomi di Jensen-Pólya, è che è infinito. Negli ultimi 90 anni, solo una manciata di polinomi nella sequenza sono stati verificati, inducendo i matematici ad abbandonare questo approccio in quanto troppo lento e ingombrante.

Per il PNAS carta, gli autori hanno ideato un quadro concettuale che combina i polinomi per gradi. Questo metodo ha permesso loro di confermare il criterio per ogni grado il 100% delle volte, eclissando la manciata di casi che erano precedentemente noti.

"Il metodo ha un senso scioccante di essere universale, in quanto si applica a problemi apparentemente non correlati, " dice Rolen. "E allo stesso tempo, le sue prove sono facili da seguire e da capire. Alcune delle intuizioni più belle in matematica sono quelle che hanno impiegato molto tempo per essere realizzate, ma una volta che li vedi, appaiono semplici e chiare."

Nonostante il loro lavoro, i risultati non escludono la possibilità che l'ipotesi di Riemann sia falsa e gli autori ritengono che una dimostrazione completa della famosa congettura sia ancora lontana.