I matematici della RUDN University hanno dimostrato l'unico teorema di continuazione per una soluzione unidimensionale a un problema di diffusione di ordine frazionario. Tali equazioni vengono utilizzate, Per esempio, per risolvere problemi di diffusione di particelle in un mezzo poroso come l'infiltrazione di acque sotterranee. I risultati del lavoro dei matematici potrebbero portare a un'analisi più accurata delle soluzioni e alla loro simulazione numerica. Nel caso generale, non ci sono tali teoremi di continuazione per altre classi di equazioni simili. L'articolo è stato pubblicato sulla rivista Calcolo frazionario e analisi applicata .

L'equazione di diffusione è un'equazione differenziale parziale che descrive la penetrazione delle particelle in un mezzo. La sua soluzione è una funzione tu di T e X , che dà la densità delle particelle nel punto X alla volta T . L'equazione di diffusione unidimensionale contiene derivati ​​di tu riguardo a T , così come i derivati ​​di tu riguardo a X e una derivata seconda di tu riguardo a X .

L'equazione unidimensionale è anche chiamata equazione della conduzione del calore:la propagazione del calore può essere considerata come una forma di diffusione. Nell'equazione di diffusione frazionata unidimensionale, la derivata di tu riguardo a T è sostituito dalla derivata frazionaria Caputo. Se la derivata è il limite di un rapporto, quindi la derivata frazionaria di Caputo di ordine frazionario un è determinato dalla formula integrale, dove per valori interi un ci sono valori standard delle derivate. Per la solita equazione di diffusione unidimensionale, un teorema di continuazione può essere dimostrato[s].[/s] Esso afferma che se la densità e il flusso di particelle sono zero in un punto limite in un intervallo di tempo, allora non c'è diffusione in x e t in esame. Anche uno studente del primo anno può comprendere la prova di questa affermazione, però, fino a poco tempo fa, risultati simili per l'equazione di diffusione frazionaria erano sconosciuti.

Il matematico della RUDN University Masahiro Yamamoto e i suoi colleghi hanno considerato l'equazione di diffusione frazionaria unidimensionale per un parametro arbitrario a con un valore compreso tra 0 e 1. Sono riusciti a dimostrare che nel caso frazionario esiste anche un teorema di continuazione, Inoltre, nella stessa formulazione:se la densità e il flusso di particelle sono zero in un punto di confine in un intervallo di tempo, poi niente si diffonde.

L'idea della dimostrazione è questa:i matematici prendono una soluzione, guarda come si comporta in una continuazione, e quindi ottenere una stima integrale per l'aumento di questa soluzione, a seconda del parametro. Dalla stima integrale segue che l'unica soluzione soddisfacente è la soluzione zero. Non sono note stime simili per equazioni simili con derivate frazionarie.

L'equazione di diffusione frazionaria è applicata in vari campi della fisica, matematica, e informatica. Per esempio, questa equazione descrive la diffusione delle particelle in un mezzo poroso. Tali equazioni sono state utilizzate con successo per descrivere il comportamento delle emissioni inquinanti nelle acque sotterranee. Un'altra area di applicazione di tali equazioni è l'elaborazione delle immagini.