Un matematico della RUDN University ha proposto un nuovo schema per risolvere numericamente equazioni con potenze frazionarie di operatori ellittici. Il nuovo schema funziona più velocemente di quelli esistenti, perché tiene conto delle proprietà delle soluzioni di tali equazioni nei punti singolari. I risultati potrebbero essere utili per calcolare i processi di diffusione, ad esempio perdita di fluido in un mezzo poroso, trasferimento di nutrienti attraverso una parete cellulare, e rotture nei materiali elastici. Lo studio è stato pubblicato su Computer e matematica con applicazioni .

L'equazione di diffusione classica è un'equazione differenziale parziale. Descrive il processo di distribuzione di una sostanza in un determinato ambiente. La soluzione dell'equazione è una funzione del tempo t e del punto x, che mostra la concentrazione u (t, x) della sostanza al punto x al tempo t. Se il mezzo è omogeneo, allora l'equazione di diffusione contiene la derivata prima rispetto a t di u e la somma delle derivate seconde di u rispetto alle coordinate. La somma è chiamata operatore di Laplace, ed è utilizzato in vari campi della matematica e della fisica, compresa la teoria delle funzioni complesse e l'equazione di Schrödinger.

Il matematico Petr Vabishchevich, un dipendente del Centro Scientifico di Metodi Computazionali in Matematica Applicata presso l'Università RUDN, e il suo collega Raimondas Ciegis, Prof. di Matematica all'Università Tecnica di Vilnius Gediminas, Vilnio, Lituania, considerata una variante dell'equazione di diffusione frazionaria in cui l'operatore di Laplace viene portato a un grado frazionario. Il grado è determinato dalla formula, che è conveniente da un punto di vista teorico, ma del tutto inadatto ai calcoli. Intanto, i calcoli pratici relativi alle soluzioni sono un compito importante per le applicazioni.

Se è difficile risolvere un'equazione in forma generale, i matematici usano metodi numerici. Ce ne sono molti che sono tradizionalmente usati per l'equazione di diffusione frazionaria. Per esempio, una di esse presuppone che la soluzione si riduca alle soluzioni sequenziali di più sistemi detti locali. Questi sistemi hanno la proprietà di ellitticità, questo è, tali equazioni assomigliano alle equazioni di diffusione senza grado frazionario. Tali sistemi sono ben risolti numericamente. Però, quando la soluzione approssimata del problema originale nel suo insieme deve essere "assemblata" dalle soluzioni ottenute, i pezzi non sempre "si incastrano" bene - la soluzione ottenuta a volte approssima accuratamente la soluzione al problema originale, e a volte è molto diverso.

Petr Vabishchevich e il suo collega hanno scelto un'altra strada, riducendo la soluzione dell'equazione di diffusione frazionaria a più sistemi locali. I sistemi risultanti non possedevano la proprietà di ellitticità ed erano anche peggiori, in un senso. Inoltre, il sistema includeva funzioni con discontinuità, che di solito significa bassa risolvibilità per problemi numerici. Ma in questo caso particolare, si è scoperto che la scelta corretta del passo temporale per il calcolo, insieme ad una buona scelta del sistema stesso, permette di ottenere una soluzione numerica che approssima in modo abbastanza accurato la soluzione del problema originale.

Inoltre, sembra che il metodo proposto dai matematici dell'Università RUDN spesso funzioni più velocemente dei suoi omologhi. Questo perché il passaggio a una soluzione approssimata avviene nell'ultimo passaggio del nuovo schema. In altri metodi, l'approssimazione avviene in più fasi, che porta all'accumulo di errori di calcolo. Ciò non si verifica con il nuovo metodo.

Le equazioni di diffusione frazionaria descrivono la cosiddetta diffusione anomala, per esempio., la distribuzione di un liquido in un mezzo poroso con discontinuità. Inoltre, la diffusione frazionata descrive il trasferimento di nutrienti all'interno di una cellula e nei tessuti in generale. Queste equazioni in forma generale non sono risolvibili, perciò, gli scienziati usano approssimazioni numeriche, questo è, soluzioni approssimate. Il nuovo metodo dei matematici dell'Università RUDN consentirà in molti casi di eseguire calcoli più velocemente.