I matematici che studiano i sistemi dinamici spesso si concentrano sulle regole di attrazione. Vale a dire, in che modo la scelta del punto di partenza influisce su dove finisce un sistema? Alcuni sistemi sono più facili da descrivere di altri. Un pendolo oscillante, ad esempio, atterrerà sempre nel punto più basso, indipendentemente da dove inizi.

Nella ricerca sui sistemi dinamici, un "bacino di attrazione" è l'insieme di tutti i punti di partenza, solitamente vicini tra loro, che arrivano allo stesso stato finale man mano che il sistema evolve nel tempo. Per sistemi semplici come un pendolo oscillante, la forma e le dimensioni di un lavabo sono comprensibili. Non così per i sistemi più complicati:quelli con dimensioni che raggiungono le decine o centinaia o superiori possono avere geometrie selvagge con confini frattali.

In effetti, potrebbero sembrare i tentacoli di un polpo, secondo il nuovo lavoro di Yuanzhao Zhang, fisico e SFI Schmidt Science Fellow, e Steven Strogatz, matematico e scrittore alla Cornell University. Le geometrie contorte di questi bacini ad alta dimensione non possono essere facilmente visualizzate, ma in un nuovo articolo pubblicato in Physical Review Letters , i ricercatori descrivono un semplice argomento che mostra perché i bacini nei sistemi con più attrattori dovrebbero apparire come polpi ad alta dimensione. Avanzano le loro argomentazioni analizzando un modello semplice:un anello di oscillatori che, nonostante interagiscano solo localmente, possono produrre una miriade di stati collettivi come la sincronizzazione in fase. Un numero elevato di oscillatori accoppiati avrà molti attrattori, e quindi molti bacini.

"Quando hai un sistema ad alta dimensione, i tentacoli dominano le dimensioni del bacino", dice Zhang.

È importante sottolineare che il nuovo lavoro mostra che il volume di un bacino di grandi dimensioni non può essere approssimato correttamente da un ipercubo, per quanto allettante sia. Questo perché l'ipercubo non riesce a comprendere la stragrande maggioranza, più del 99%, dei punti del bacino, che sono tesi su tentacoli.

Il documento suggerisce anche che il tema dei bacini ad alta dimensione è ricco di potenziale per nuove esplorazioni. "La geometria è molto lontana da tutto ciò che conosciamo", afferma Strogatz. "Non si tratta tanto di ciò che abbiamo trovato, quanto di ricordare alle persone che così tanto è in attesa di essere trovato. Questa è la prima età dell'esplorazione dei bacini".

Il lavoro può anche avere implicazioni nel mondo reale. Zhang indica la rete elettrica come esempio di importanti sistemi ad alta dimensione con molteplici bacini di attrazione. Capire quali punti di partenza portano a quali risultati può aiutare gli ingegneri a capire come mantenere le luci accese.

"A seconda di come avvii la tua rete, si evolverà in uno stato operativo normale o in uno stato dirompente, come un blackout", afferma Zhang.