I numeri primi sono più di semplici numeri che possono essere divisi solo per se stessi e uno. Sono un mistero matematico, i segreti di cui i matematici hanno cercato di svelare da quando Euclide ha dimostrato che non hanno fine.

Un progetto in corso – il Great Internet Mersenne Prime Search – che mira a scoprire sempre più numeri primi di un genere particolarmente raro, ha recentemente portato alla scoperta del più grande numero primo conosciuto fino ad oggi. Allungando a 23, 249, 425 cifre, è così grande che riempirebbe facilmente 9, 000 pagine di libri. A confronto, si stima che il numero di atomi nell'intero universo osservabile non abbia più di 100 cifre.

Il numero, scritto semplicemente come 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1 (due alla potenza di 77, 232, 917, meno uno) è stato trovato da un volontario che aveva dedicato 14 anni di tempo di calcolo allo sforzo.

Ti starai chiedendo, se il numero supera i 23 milioni di cifre, perché abbiamo bisogno di saperlo? Sicuramente i numeri più importanti sono quelli che possiamo usare per quantificare il nostro mondo? Non è il caso. Abbiamo bisogno di conoscere le proprietà dei diversi numeri in modo da poter non solo continuare a sviluppare la tecnologia su cui facciamo affidamento, ma anche tenerlo al sicuro.

Segretezza con i numeri primi

Una delle applicazioni più utilizzate dei numeri primi nell'informatica è il sistema di crittografia RSA. Nel 1978, Ron Rivest, Adi Shamir e Leonard Adleman hanno combinato alcuni semplici, fatti noti sui numeri per creare RSA. Il sistema che hanno sviluppato consente la trasmissione sicura di informazioni, come i numeri delle carte di credito, online.

Il primo ingrediente richiesto per l'algoritmo sono due grandi numeri primi. Più grandi sono i numeri, più sicura è la crittografia. Il conteggio dei numeri uno, Due, tre, quattro, e così via – chiamati anche numeri naturali – sono, ovviamente, estremamente utile qui. Ma i numeri primi sono gli elementi costitutivi di tutti i numeri naturali e quindi ancora più importanti.

Prendi ad esempio il numero 70. La divisione mostra che è il prodotto di due e 35. Inoltre, 35 è il prodotto di cinque e sette. Quindi 70 è il prodotto di tre numeri più piccoli:due, cinque, e sette. Questa è la fine della strada per 70, poiché nessuno di questi può essere ulteriormente suddiviso. Abbiamo trovato i componenti primari che compongono 70, dando la sua scomposizione in fattori primi.

Moltiplicando due numeri, anche se molto grande, è forse noioso ma un compito semplice. Trovare la scomposizione in fattori primi, d'altra parte, è estremamente difficile, ed è proprio di questo che si avvantaggia il sistema RSA.

Supponiamo che Alice e Bob desiderino comunicare segretamente su Internet. Richiedono un sistema di crittografia. Se si incontrano per la prima volta di persona, possono escogitare un metodo per la crittografia e la decrittazione che solo loro conosceranno, ma se la comunicazione iniziale è online, devono prima comunicare apertamente il sistema di crittografia stesso:un'attività rischiosa.

Però, se Alice sceglie due grandi numeri primi, calcola il loro prodotto, e lo comunica apertamente, scoprire quali fossero i suoi numeri primi originali sarà un compito molto difficile, come solo lei conosce i fattori.

Quindi Alice comunica il suo prodotto a Bob, mantenendo segreti i suoi fattori. Bob usa il prodotto per crittografare il suo messaggio ad Alice, che può essere decifrato solo utilizzando i fattori che conosce. Se Eva sta origliando, non può decifrare il messaggio di Bob a meno che non acquisisca i fattori di Alice, che non sono mai stati comunicati. Se Eve cerca di scomporre il prodotto nei suoi fattori primi, anche utilizzando il supercomputer più veloce, non esiste alcun algoritmo noto in grado di farlo prima che il sole esploda.

La ricerca primaria

I numeri primi grandi sono usati in modo prominente anche in altri crittosistemi. I computer più veloci ottengono, più grandi sono i numeri che possono decifrare. Per applicazioni moderne, sono sufficienti i numeri primi che misurano centinaia di cifre. Questi numeri sono minuscoli rispetto al gigante scoperto di recente. Infatti, il nuovo numero primo è così grande che, al momento, nessun progresso tecnologico concepibile nella velocità di calcolo potrebbe portare alla necessità di utilizzarlo per la sicurezza crittografica. È anche probabile che i rischi posti dai computer quantistici incombenti non abbiano bisogno di numeri così mostruosi per essere messi al sicuro.

Non sono né i sistemi crittografici più sicuri né il miglioramento dei computer a guidare l'ultima scoperta di Mersenne, però. È la necessità dei matematici di scoprire i gioielli all'interno del forziere etichettati "numeri primi" che alimenta la ricerca in corso. Questo è un desiderio primordiale che inizia con il contare uno, Due, tre, e ci spinge alle frontiere della ricerca. Il fatto che il commercio online sia stato rivoluzionato è quasi un incidente.

Il celebre matematico britannico Godfrey Harold Hardy disse:"La matematica pura è nel complesso nettamente più utile che applicata. Perché ciò che è utile soprattutto è la tecnica, e la tecnica matematica viene insegnata principalmente attraverso la matematica pura". Che siano o meno grandi numeri primi, come il 50° primo di Mersenne noto con i suoi milioni di cifre, sarà mai trovato utile è, almeno per Hardy, una domanda irrilevante. Il merito di conoscere questi numeri sta nel placare la sete intellettuale del genere umano, iniziata con la dimostrazione dell'infinità dei numeri primi di Euclide e continua ancora oggi.

Questo articolo è stato originariamente pubblicato su The Conversation. Leggi l'articolo originale.